Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1229

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1229

Пусть

y=f(u)

u=\varphi(x)

, где

f(u)

\varphi(x)

—

n

-кратно дифференцируемые функции.

Доказать, что

\frac{d^ny}{dx^n}=\sum_{k=1}^{n}A_k(x)f^{(k)}(u)

где коэффициенты

A_k(x)

(k=1,\ldots,n)

не зависят от функции

f(u)

Доказательство

Проведём доказательство методом математической индукции по порядку производной

n

База индукции

При

n=1

, по правилу дифференцирования сложной функции, имеем:

\frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot u' = \varphi'(x) f'(u)

Это выражение имеет вид

A_1(x) f^{(1)}(u)

, где коэффициент

A_1(x) = \varphi'(x)

зависит только от

x

и функции

\varphi(x)

, и не зависит от выбора функции

f(u)

. Таким образом, для

n=1

утверждение верно.

Индукционный переход

Предположим, что утверждение справедливо для некоторого натурального числа

n

\frac{d^ny}{dx^n} = \sum_{k=1}^{n} A_k(x) f^{(k)}(u)

где коэффициенты

A_k(x)

получены из производных

\varphi

порядков не выше

n

с помощью сумм и произведений. Для перехода к порядку

n+1

считаем обе исходные функции

(n+1)

-кратно дифференцируемыми; тогда все используемые

A_k

дифференцируемы.
Докажем справедливость формулы для

n+1

. Продифференцируем обе части по

x

\frac{d^{n+1}y}{dx^{n+1}} = \frac{d}{dx} \left( \sum_{k=1}^{n} A_k(x) f^{(k)}(u) \right) = \sum_{k=1}^{n} \left( A_k'(x) f^{(k)}(u) + A_k(x) \frac{d}{dx} \bigl[ f^{(k)}(u) \bigr] \right)

Применяя цепное правило к

f^{(k)}(u)

, получаем:

\frac{d}{dx} \bigl[ f^{(k)}(u) \bigr] = f^{(k+1)}(u) \cdot u' = \varphi'(x) f^{(k+1)}(u)

Подставим это обратно в сумму:

\frac{d^{n+1}y}{dx^{n+1}} = \sum_{k=1}^{n} A_k'(x) f^{(k)}(u) + \sum_{k=1}^{n} A_k(x) \varphi'(x) f^{(k+1)}(u)

Во второй сумме выполним сдвиг индекса суммирования, положив

j = k+1

. Тогда индекс

j

будет изменяться от

2

до

n+1

\sum_{k=1}^{n} A_k(x) \varphi'(x) f^{(k+1)}(u) = \sum_{j=2}^{n+1} A_{j-1}(x) \varphi'(x) f^{(j)}(u)

Вернувшись к букве

k

в качестве индекса суммирования, объединим обе суммы:

\frac{d^{n+1}y}{dx^{n+1}} = A_1'(x) f'(u) + \sum_{k=2}^{n} \bigl( A_k'(x) + A_{k-1}(x) \varphi'(x) \bigr) f^{(k)}(u) + A_n(x) \varphi'(x) f^{(n+1)}(u)

Обозначим новые коэффициенты

B_k(x)

следующим образом:

B_1(x) = A_1'(x)

B_k(x) = A_k'(x) + A_{k-1}(x) \varphi'(x) \qquad (k=2, 3, \ldots, n)

B_{n+1}(x) = A_n(x) \varphi'(x)

Тогда

(n+1)

-я производная примет вид:

\frac{d^{n+1}y}{dx^{n+1}} = \sum_{k=1}^{n+1} B_k(x) f^{(k)}(u)

Поскольку по индукционному предположению функции

A_k(x)

не зависят от

f(u)

, а

\varphi'(x)

определяется исключительно функцией

\varphi(x)

, то новые коэффициенты

B_k(x)

также не зависят от функции

f(u)

. Индукционный переход доказан.

Таким образом, согласно принципу математической индукции, исходное утверждение справедливо для любого натурального числа

n

Что и требовалось доказать