Демидович — задача 1229

1. 1

   База индукции

   При $n=1$, по правилу дифференцирования сложной функции, имеем:$$\frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot u' = \varphi'(x) f'(u)$$Это выражение имеет вид $A_1(x) f^{(1)}(u)$, где коэффициент $A_1(x) = \varphi'(x)$ зависит только от $x$ и функции $\varphi(x)$, и не зависит от выбора функции $f(u)$. Таким образом, для $n=1$ утверждение верно.
2. 2

   Индукционный переход

   Предположим, что утверждение справедливо для некоторого натурального числа $n$:$$\frac{d^ny}{dx^n} = \sum_{k=1}^{n} A_k(x) f^{(k)}(u)$$где коэффициенты $A_k(x)$ не зависят от функции $f(u)$.
   Докажем справедливость формулы для $n+1$. Продифференцируем обе части по $x$:$$\frac{d^{n+1}y}{dx^{n+1}} = \frac{d}{dx} \left( \sum_{k=1}^{n} A_k(x) f^{(k)}(u) \right) = \sum_{k=1}^{n} \left( A_k'(x) f^{(k)}(u) + A_k(x) \frac{d}{dx} \bigl[ f^{(k)}(u) \bigr] \right)$$Применяя цепное правило к $f^{(k)}(u)$, получаем:$$\frac{d}{dx} \bigl[ f^{(k)}(u) \bigr] = f^{(k+1)}(u) \cdot u' = \varphi'(x) f^{(k+1)}(u)$$Подставим это обратно в сумму:$$\frac{d^{n+1}y}{dx^{n+1}} = \sum_{k=1}^{n} A_k'(x) f^{(k)}(u) + \sum_{k=1}^{n} A_k(x) \varphi'(x) f^{(k+1)}(u)$$Во второй сумме выполним сдвиг индекса суммирования, положив $j = k+1$. Тогда индекс $j$ будет изменяться от $2$ до $n+1$:$$\sum_{k=1}^{n} A_k(x) \varphi'(x) f^{(k+1)}(u) = \sum_{j=2}^{n+1} A_{j-1}(x) \varphi'(x) f^{(j)}(u)$$Вернувшись к букве $k$ в качестве индекса суммирования, объединим обе суммы:$$\frac{d^{n+1}y}{dx^{n+1}} = A_1'(x) f'(u) + \sum_{k=2}^{n} \bigl( A_k'(x) + A_{k-1}(x) \varphi'(x) \bigr) f^{(k)}(u) + A_n(x) \varphi'(x) f^{(n+1)}(u)$$Обозначим новые коэффициенты $B_k(x)$ следующим образом:$$B_1(x) = A_1'(x)$$$$B_k(x) = A_k'(x) + A_{k-1}(x) \varphi'(x) \qquad (k=2, 3, \ldots, n)$$$$B_{n+1}(x) = A_n(x) \varphi'(x)$$Тогда $(n+1)$-я производная примет вид:$$\frac{d^{n+1}y}{dx^{n+1}} = \sum_{k=1}^{n+1} B_k(x) f^{(k)}(u)$$Поскольку по индукционному предположению функции $A_k(x)$ не зависят от $f(u)$, а $\varphi'(x)$ определяется исключительно функцией $\varphi(x)$, то новые коэффициенты $B_k(x)$ также не зависят от функции $f(u)$. Индукционный переход доказан.

Что и требовалось доказать