Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1228

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Многочлены Чебышева–Лагерра определяются формулой

L_m(x)=e^x(x^me^{-x})^{(m)}\qquad(m=0,1,2,\ldots)

Найти явное выражение для многочлена

L_m(x)

.

Доказать, что

L_m(x)

удовлетворяет уравнению

xL_m''(x)+(1-x)L_m'(x)+mL_m(x)=0

Указание. Использовать равенство

xu'+(x-m)u=0

где

u=x^me^{-x}

Доказательство

Найдём явное выражение для многочлена

L_m(x)

. Воспользуемся формулой Лейбница для

m

-й производной произведения двух функций

f(x) = x^m

g(x) = e^{-x}

(x^m e^{-x})^{(m)} = \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} (x^m)^{(m-k)} (e^{-x})^{(k)}

Заметим, что производная экспоненты равна

(e^{-x})^{(k)} = (-1)^k e^{-x}

, а производная степенной функции вычисляется как

(x^m)^{(m-k)} = \frac{m!}{k!} x^k

. Подставляя эти выражения в формулу Лейбница, получим:

(x^m e^{-x})^{(m)} = \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} \frac{m!}{k!} x^k (-1)^k e^{-x}

Умножив результат на

e^x

, найдём искомое явное выражение для многочлена:

L_m(x) = e^x (x^m e^{-x})^{(m)} = \sum_{k=0}^{m} (-1)^k \binom{m}{k} \frac{m!}{k!} x^k = m! \sum_{k=0}^{m} (-1)^k \binom{m}{k} \frac{x^k}{k!}

Проверка

2) Докажем, что полученный многочлен удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению. Введём вспомогательную функцию

u = x^m e^{-x}

. Продифференцировав её, получим:

u' = m x^{m-1} e^{-x} - x^m e^{-x}

Умножим обе части на

x

x u' = m x^m e^{-x} - x^{m+1} e^{-x} = mu - xu

Отсюда вытекает тождество, приведённое в указании:

xu' + (x-m)u = 0

Продифференцируем это тождество

m+1

раз, применяя формулу Лейбница. Для первого слагаемого

(xu')^{(m+1)}

отличны от нуля только два члена разложения:

(xu')^{(m+1)} = x u^{(m+2)} + (m+1)u^{(m+1)}

Для второго слагаемого

((x-m)u)^{(m+1)}

также остаются два члена:

((x-m)u)^{(m+1)} = (x-m)u^{(m+1)} + (m+1)u^{(m)}

Складывая их и приравнивая к нулю, имеем:

x u^{(m+2)} + (m+1)u^{(m+1)} + (x-m)u^{(m+1)} + (m+1)u^{(m)} = 0

Приводя подобные слагаемые при

u^{(m+1)}

, получаем:

x u^{(m+2)} + (x+1)u^{(m+1)} + (m+1)u^{(m)} = 0

Выразим производные функции

u

через

L_m(x)

. По определению

L_m(x) = e^x u^{(m)}

, откуда:

u^{(m)} = e^{-x} L_m(x)

Дифференцируя последовательно, находим:

u^{(m+1)} = (e^{-x} L_m)' = e^{-x}(L_m' - L_m)

u^{(m+2)} = \bigl( e^{-x}(L_m' - L_m) \bigr)' = e^{-x}(L_m'' - L_m') - e^{-x}(L_m' - L_m) = e^{-x}(L_m'' - 2L_m' + L_m)

Подставим выражения для производных в полученное ранее уравнение для

u

x e^{-x}(L_m'' - 2L_m' + L_m) + (x+1)e^{-x}(L_m' - L_m) + (m+1)e^{-x} L_m = 0

Поскольку

e^{-x} \ne 0

, разделим обе части на

e^{-x}

и раскроем скобки:

x L_m'' - 2x L_m' + x L_m + x L_m' - x L_m + L_m' - L_m + m L_m + L_m = 0

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми производными:

x L_m'' + (1-x) L_m' + m L_m = 0

Таким образом, мы строго доказали, что многочлен Чебышева–Лагерра удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению.

Что и требовалось доказать