Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1214

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1214

Найти

y^{(n)}

, если:

\text{а) }y=\operatorname{ch}ax\cos bx;\qquad\text{б) }y=\operatorname{ch}ax\sin bx

Решение

Идея

Выразим гиперболический косинус через экспоненты:

\operatorname{ch}ax = \frac{e^{ax} + e^{-ax}}{2}

.
Тогда мы сможем свести задачу к результатам, доказанным в номере 1213. Обозначим

r = \sqrt{a^2+b^2}

и угол

\varphi

такой, что

\cos\varphi = \frac{a}{r}, \sin\varphi = \frac{b}{r}

1
Рассмотрим применение формул для отрицательного коэффициента $\alpha = -a$ .
Его модуль останется прежним: $\sqrt{(-a)^2+b^2} = \sqrt{a^2+b^2} = r$ .
Угол $\psi$ , соответствующий коэффициентам $-a$ и $b$ , определяется условиями: $\cos\psi = \frac{-a}{r} = -\cos\varphi, \qquad \sin\psi = \frac{b}{r} = \sin\varphi$ Отсюда следует, что $\psi = \pi - \varphi$ .
Тогда при вычислении $n$ -й производной слагаемых с $e^{-ax}$ в аргументах тригонометрических функций появится слагаемое $n\psi = n\pi - n\varphi$ .
Упростим эти тригонометрические выражения с помощью формул приведения: $\cos(bx + n\pi - n\varphi) = \cos(bx - n\varphi + n\pi) = (-1)^n \cos(bx - n\varphi)$ $\sin(bx + n\pi - n\varphi) = \sin(bx - n\varphi + n\pi) = (-1)^n \sin(bx - n\varphi)$
2
Пункт а)
Рассмотрим функцию $y=\operatorname{ch}ax\cos bx$ : $y = \frac{1}{2} e^{ax}\cos bx + \frac{1}{2} e^{-ax}\cos bx$ Применяя выведенные правила, сразу записываем $n$ -ю производную: $y^{(n)}\mathrel{=}$
3
Пункт б)
Рассмотрим функцию $y=\operatorname{ch}ax\sin bx$ : $y = \frac{1}{2} e^{ax}\sin bx + \frac{1}{2} e^{-ax}\sin bx$ Аналогично берём $n$ -ю производную: $y^{(n)}\mathrel{=}$