Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1214

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1214

Найти y(n)y^{(n)}, если:а) y=ch⁡axcos⁡bx;б) y=ch⁡axsin⁡bx\text{а) }y=\operatorname{ch}ax\cos bx;
\qquad
\text{б) }y=\operatorname{ch}ax\sin bx

Решение

Выразим гиперболический косинус через экспоненты: ch⁡ax=eax+e−ax2\operatorname{ch}ax = \frac{e^{ax} + e^{-ax}}{2}.
Тогда мы сможем свести задачу к результатам, доказанным в номере 1213. Обозначим r=a2+b2r = \sqrt{a^2+b^2} и угол φ\varphi такой, что cos⁡φ=ar,sin⁡φ=br\cos\varphi = \frac{a}{r}, \sin\varphi = \frac{b}{r}.
Рассмотрим применение формул для отрицательного коэффициента α=−a\alpha = -a.
Его модуль останется прежним: (−a)2+b2=a2+b2=r\sqrt{(-a)^2+b^2} = \sqrt{a^2+b^2} = r.
Угол ψ\psi, соответствующий коэффициентам −a-a и bb, определяется условиями:cos⁡ψ=−ar=−cos⁡φ,sin⁡ψ=br=sin⁡φ\cos\psi = \frac{-a}{r} = -\cos\varphi, \qquad \sin\psi = \frac{b}{r} = \sin\varphiОтсюда следует, что ψ=π−φ\psi = \pi - \varphi.
Тогда при вычислении nn-й производной слагаемых с e−axe^{-ax} в аргументах тригонометрических функций появится слагаемое nψ=nπ−nφn\psi = n\pi - n\varphi.
Упростим эти тригонометрические выражения с помощью формул приведения:cos⁡(bx+nπ−nφ)=cos⁡(bx−nφ+nπ)=(−1)ncos⁡(bx−nφ)\cos(bx + n\pi - n\varphi) = \cos(bx - n\varphi + n\pi) = (-1)^n \cos(bx - n\varphi)sin⁡(bx+nπ−nφ)=sin⁡(bx−nφ+nπ)=(−1)nsin⁡(bx−nφ)\sin(bx + n\pi - n\varphi) = \sin(bx - n\varphi + n\pi) = (-1)^n \sin(bx - n\varphi)

Пункт а)

Рассмотрим функцию y=ch⁡axcos⁡bxy=\operatorname{ch}ax\cos bx:y=12eaxcos⁡bx+12e−axcos⁡bxy = \frac{1}{2} e^{ax}\cos bx + \frac{1}{2} e^{-ax}\cos bxПрименяя выведенные правила, сразу записываем nn-ю производную:y(n)=\displaystyle y^{(n)}\mathrel{=}12rneaxcos⁡(bx+nφ)+12rne−axcos⁡(bx+nψ)=\displaystyle \frac{1}{2} r^n e^{ax}\cos(bx + n\varphi) + \frac{1}{2} r^n e^{-ax}\cos(bx + n\psi)\mathrel{=}12(a2+b2)n2[eaxcos⁡(bx+nφ)+(−1)ne−axcos⁡(bx−nφ)]\displaystyle \frac{1}{2} (a^2+b^2)^{\frac{n}{2}} \Big[ e^{ax}\cos(bx + n\varphi) + (-1)^n e^{-ax}\cos(bx - n\varphi) \Big]

Пункт б)

Рассмотрим функцию y=ch⁡axsin⁡bxy=\operatorname{ch}ax\sin bx:y=12eaxsin⁡bx+12e−axsin⁡bxy = \frac{1}{2} e^{ax}\sin bx + \frac{1}{2} e^{-ax}\sin bxАналогично берём nn-ю производную:y(n)=\displaystyle y^{(n)}\mathrel{=}12rneaxsin⁡(bx+nφ)+12rne−axsin⁡(bx+nψ)=\displaystyle \frac{1}{2} r^n e^{ax}\sin(bx + n\varphi) + \frac{1}{2} r^n e^{-ax}\sin(bx + n\psi)\mathrel{=}12(a2+b2)n2[eaxsin⁡(bx+nφ)+(−1)ne−axsin⁡(bx−nφ)]\displaystyle \frac{1}{2} (a^2+b^2)^{\frac{n}{2}} \Big[ e^{ax}\sin(bx + n\varphi) + (-1)^n e^{-ax}\sin(bx - n\varphi) \Big]

Проверка

Угол φ\varphi определён, если a2+b2>0a^2+b^2>0. При a=b=0a=b=0 обе исходные функции постоянны, поэтому их производные любого положительного порядка равны нулю.