Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1047

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1047

Показать, что функция

y=y(x)

, определяемая системой уравнений

x=2t+|t|,\qquady=5t^2+4t|t|

дифференцируема при

t=0

, но её производная в этой точке не может быть найдена по обычной формуле.

Доказано:Параметризация задаёт функцию

y=x^2

поэтому

y'_x(0)=0

. Обычная параметрическая формула в точке

t=0

неприменима, поскольку

x'_t(0)

не существует.

Доказательство

Раскроем модули отдельно при отрицательных и неотрицательных
значениях параметра. Если

t<0

, то

|t|=-t

, поэтому

x=t, \qquad y=t^2

Если

t\geqslant0

, то

|t|=t

, и

x=3t, \qquad y=9t^2

В первом случае

t=x

, а во втором

t=x/3

. Следовательно, обе
части параметризации задают одну и ту же функцию:

y=x^2

Она дифференцируема при

x=0

, причём

y'_x(0)=0

Обычная формула

y'_x=\frac{dy/dt}{dx/dt}

в точке

t=0

неприменима. Действительно,

\begin{gathered} x(t)= \begin{cases} t,&t<0,\\ 3t,&t\geqslant0 \end{cases}\\[4pt] x'_-(0)=1, \qquad x'_+(0)=3\end{gathered}

Односторонние производные различны, поэтому производной

dx/dt

при

t=0

не существует.

Что и требовалось доказать