Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1047

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1047

Показать, что функция y=y(x)y=y(x), определяемая системой уравненийx=2t+∣t∣,y=5t2+4t∣t∣x=2t+|t|,
\qquad
y=5t^2+4t|t|дифференцируема при t=0t=0, но её производная в этой точке не может быть найдена по обычной формуле.
Доказано:Параметризация задаёт функциюy=x2y=x^2поэтому yx′(0)=0y'_x(0)=0. Обычная параметрическая формула в точке
t=0t=0 неприменима, поскольку xt′(0)x'_t(0) не существует.

Доказательство

Идея

Раскроем модули отдельно при отрицательных и неотрицательных
значениях параметра. Если t<0t<0, то ∣t∣=−t|t|=-t, поэтомуx=t,y=t2x=t,
\qquad
y=t^2Если t⩾0t\geqslant0, то ∣t∣=t|t|=t, иx=3t,y=9t2x=3t,
\qquad
y=9t^2В первом случае t=xt=x, а во втором t=x/3t=x/3. Следовательно, обе
части параметризации задают одну и ту же функцию:y=x2y=x^2Она дифференцируема при x=0x=0, причёмyx′(0)=0y'_x(0)=0
Обычная формулаyx′=dy/dtdx/dty'_x=\frac{dy/dt}{dx/dt}в точке t=0t=0 неприменима. Действительно,x(t)={t,t<0,3t,t⩾0x−′(0)=1,x+′(0)=3\begin{gathered}
x(t)=
\begin{cases}
t,&t<0,\\
3t,&t\geqslant0
\end{cases}\\[4pt]
x'_-(0)=1,
\qquad
x'_+(0)=3
\end{gathered}Односторонние производные различны, поэтому производной dx/dtdx/dt
при t=0t=0 не существует.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1047 — решение и ответ