Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1043

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную yx′y'_x (постоянные параметры положительны), если:

Задача 1043

x=acos⁡3t,y=asin⁡3tx=a\cos^3t,
\qquad
y=a\sin^3t
Ответ:В регулярных точкахyx′=−tg⁡t=−yx3y'_x=-\operatorname{tg}t
=-\sqrt[3]{\frac yx}При t=πkt=\pi k наклон касательной равен 00, а при
t=π2+πkt=\dfrac\pi2+\pi k касательная вертикальна.

Решение

По общему условию a>0a>0.
Дифференцируя, получаемdxdt=−3acos⁡2tsin⁡t,dydt=3asin⁡2tcos⁡t\frac{dx}{dt}=-3a\cos^2t\sin t,
\qquad
\frac{dy}{dt}=3a\sin^2t\cos tЕсли sin⁡tcos⁡t≠0\sin t\cos t\ne0, тоyx′=3asin⁡2tcos⁡t−3acos⁡2tsin⁡t=−sin⁡tcos⁡t=−tg⁡t\begin{aligned}
y'_x
&=\frac{3a\sin^2t\cos t}
{-3a\cos^2t\sin t}
=-\frac{\sin t}{\cos t}
=-\operatorname{tg}t
\end{aligned}Так какx3=a3cos⁡t,y3=a3sin⁡t\sqrt[3]x=\sqrt[3]a\cos t,
\qquad
\sqrt[3]y=\sqrt[3]a\sin tэту формулу можно представить в видеyx′=−yx3y'_x=-\sqrt[3]{\frac yx}
При t=πkt=\pi k обе производные по параметру равны нулю, поэтому
существование касательной в этих точках нужно проверить отдельно.
Подробно рассмотрим точку, соответствующую t=0t=0. При h→0h\to0x(h)−a=a(cos⁡h−1)(cos⁡2h+cos⁡h+1)∼−3a2h2,y(h)=asin⁡3h∼ah3\begin{aligned}
x(h)-a
&=a(\cos h-1)(\cos^2h+\cos h+1)
\sim-\frac{3a}{2}h^2,\\
y(h)
&=a\sin^3h
\sim ah^3
\end{aligned}Следовательно, наклон секущей равенy(h)x(h)−a∼−23h⟶0\frac{y(h)}{x(h)-a}
\sim-\frac23h
\longrightarrow0Значит, в точке (a,0)(a,0) касательная горизонтальна. В остальных
точках, соответствующих t=πkt=\pi k, результат получается по
симметрии. При
t=π2+πkt=\dfrac\pi2+\pi k роли координат меняются: приращение xx имеет порядок h3h^3, а приращение yy — порядок h2h^2. Поэтому Δx/Δy→0\Delta x/\Delta y\to0, что означает вертикальную касательную.
Демидович № 1043 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика