Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1050

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1050

x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(эллипс).
Ответ:При y≠0y\ne0yx′=−b2xa2yy'_x=-\frac{b^2x}{a^2y}В точках (±a,0)(\pm a,0) касательные вертикальны.

Решение

Идея

Дифференцируем уравнение эллипса:2xa2+2yb2yx′=0\frac{2x}{a^2}
+\frac{2y}{b^2}y'_x=0При y≠0y\ne0yb2yx′=−xa2\frac{y}{b^2}y'_x=-\frac{x}{a^2}и поэтомуyx′=−b2xa2yy'_x=-\frac{b^2x}{a^2y}
В точках (±a,0)(\pm a,0) знаменатель обращается в нуль. Там касательные
к эллипсу вертикальны, поэтому конечной производной yx′y'_x нет.
Демидович № 1050 — решение и ответ