Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1050

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную

y'_x

от следующих функций, заданных неявно:

Задача 1050

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

(эллипс).

Ответ:При

y\ne0

y'_x=-\frac{b^2x}{a^2y}

В точках

(\pm a,0)

касательные вертикальны.

Решение

Дифференцируем уравнение эллипса:

\frac{2x}{a^2} +\frac{2y}{b^2}y'_x=0

При

y\ne0

\frac{y}{b^2}y'_x=-\frac{x}{a^2}

и поэтому

y'_x=-\frac{b^2x}{a^2y}

В точках

(\pm a,0)

знаменатель обращается в нуль. Параметризация

x=a\cos t

y=b\sin t

из №1041 показывает, что там касательные
к эллипсу вертикальны, поэтому конечной производной

y'_x

нет.