Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1035

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Показать, что существует однозначная функция y=y(x)y=y(x), определяемая уравнением

Задача 1035

y−εsin⁡y=x,0≤ε<1y-\varepsilon\sin y=x,
\qquad 0\le\varepsilon<1и найти производную yx′y'_x.
Доказано:Для каждого x∈Rx\in\mathbb R существует единственное
значение y=y(x)y=y(x), иyx′=11−εcos⁡yy'_x=\frac1{1-\varepsilon\cos y}

Доказательство

Обозначимφ(y)=y−εsin⁡y\varphi(y)=y-\varepsilon\sin yФункция φ\varphi непрерывна на R\mathbb R, а её производная равнаφ′(y)=1−εcos⁡y\varphi'(y)=1-\varepsilon\cos yТак как cos⁡y⩽1\cos y\leqslant1 и 0⩽ε<10\leqslant\varepsilon<1, имеемφ′(y)⩾1−ε>0\varphi'(y)\geqslant1-\varepsilon>0Докажем строгое возрастание без признака по производной. Формула разности синусов и ∣sin⁡t∣⩽∣t∣|\sin t|\leqslant|t| дают∣sin⁡v−sin⁡u∣=2∣cos⁡u+v2sin⁡v−u2∣⩽∣v−u∣.|\sin v-\sin u|=2\left|\cos\frac{u+v}2\sin\frac{v-u}2\right|\leqslant|v-u|.Поэтому при v>uv>uφ(v)−φ(u)⩾(v−u)−ε∣sin⁡v−sin⁡u∣⩾(1−ε)(v−u)>0.\varphi(v)-\varphi(u)\geqslant(v-u)-\varepsilon|\sin v-\sin u|
\geqslant(1-\varepsilon)(v-u)>0.
Слагаемое εsin⁡y\varepsilon\sin y ограничено, поэтомуlim⁡y→−∞φ(y)=−∞,lim⁡y→+∞φ(y)=+∞\lim_{y\to-\infty}\varphi(y)=-\infty,
\qquad
\lim_{y\to+\infty}\varphi(y)=+\inftyТаким образом, φ\varphi взаимно однозначно отображает
R\mathbb R на R\mathbb R, и для каждого xx существует
единственное значение y=y(x)y=y(x).

Поскольку производная функции φ\varphi нигде не обращается в нуль,
по теореме о производной обратной функции обратная функция
y=y(x)y=y(x) дифференцируема.

Проверка

Дифференцируя исходное равенство по xx, получаемyx′−εcos⁡y yx′=1y'_x-\varepsilon\cos y\,y'_x=1то есть(1−εcos⁡y)yx′=1(1-\varepsilon\cos y)y'_x=1Знаменатель положителен, поэтомуyx′=11−εcos⁡yy'_x=\frac1{1-\varepsilon\cos y}

Что и требовалось доказать

Демидович № 1035 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика