Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1045

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

Задача 1045

x=e2tcos⁡2t,y=e2tsin⁡2tx=e^{2t}\cos^2t,
\qquad
y=e^{2t}\sin^2t
Ответ:yx′=sin⁡t(sin⁡t+cos⁡t)cos⁡t(cos⁡t−sin⁡t)y'_x
=\frac{\sin t(\sin t+\cos t)}
{\cos t(\cos t-\sin t)}при cos⁡t(cos⁡t−sin⁡t)≠0\cos t(\cos t-\sin t)\ne0. При
cos⁡t(cos⁡t−sin⁡t)=0\cos t(\cos t-\sin t)=0 касательная вертикальна.

Решение

Проверка

По правилу произведенияdxdt=2e2tcos⁡2t−2e2tsin⁡tcos⁡t==2e2tcos⁡t(cos⁡t−sin⁡t)\begin{aligned}
\frac{dx}{dt}
&=2e^{2t}\cos^2t-2e^{2t}\sin t\cos t=\\
&=2e^{2t}\cos t(\cos t-\sin t)
\end{aligned}Аналогично,dydt=2e2tsin⁡2t+2e2tsin⁡tcos⁡t==2e2tsin⁡t(sin⁡t+cos⁡t)\begin{aligned}
\frac{dy}{dt}
&=2e^{2t}\sin^2t+2e^{2t}\sin t\cos t=\\
&=2e^{2t}\sin t(\sin t+\cos t)
\end{aligned}Следовательно, еслиcos⁡t≠0,cos⁡t≠sin⁡t\cos t\ne0,
\qquad
\cos t\ne\sin tтоyx′=sin⁡t(sin⁡t+cos⁡t)cos⁡t(cos⁡t−sin⁡t)y'_x
=\frac{\sin t(\sin t+\cos t)}
{\cos t(\cos t-\sin t)}При cos⁡t=0\cos t=0 или cos⁡t=sin⁡t\cos t=\sin t производная dx/dtdx/dt
обращается в нуль, а dy/dt≠0dy/dt\ne0. Поэтому в этих точках касательная
вертикальна.
Демидович № 1045 — решение и ответ