Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1040

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

Задача 1040

x=sin⁡2t,y=cos⁡2tx=\sin^2t,
\qquad
y=\cos^2t
Ответ:yx′=−1y'_x=-1на всём отрезке 0⩽x⩽10\leqslant x\leqslant1, с односторонним
пониманием производной в его концах.

Решение

Идея

Из основного тригонометрического тождества сразу следуетx+y=sin⁡2t+cos⁡2t=1x+y=\sin^2t+\cos^2t=1Поэтому заданная параметрически кривая является отрезком прямойy=1−x,0⩽x⩽1y=1-x,
\qquad
0\leqslant x\leqslant1и её производная равнаyx′=−1y'_x=-1
Тот же результат при sin⁡2t≠0\sin2t\ne0 получается по обычной формуле:dxdt=sin⁡2t,dydt=−sin⁡2t\frac{dx}{dt}=\sin2t,
\qquad
\frac{dy}{dt}=-\sin2tоткудаyx′=−sin⁡2tsin⁡2t=−1y'_x=\frac{-\sin2t}{\sin2t}=-1В точках t=πk2t=\dfrac{\pi k}{2} обе производные по параметру равны
нулю, но тождество y=1−xy=1-x показывает, что наклон кривой там
по-прежнему равен −1-1.
Демидович № 1040 — решение и ответ