Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1042

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

Задача 1042

x=ach⁡t,y=bsh⁡tx=a\operatorname{ch}t,
\qquad
y=b\operatorname{sh}t
Ответ:При t≠0t\ne0yx′=bch⁡tash⁡t=b2xa2yy'_x
=\frac{b\operatorname{ch}t}{a\operatorname{sh}t}
=\frac{b^2x}{a^2y}При t=0t=0 конечной производной yx′y'_x нет.

Решение

Имеемdxdt=ash⁡t,dydt=bch⁡t\frac{dx}{dt}=a\operatorname{sh}t,
\qquad
\frac{dy}{dt}=b\operatorname{ch}tПоэтому при t≠0t\ne0yx′=bch⁡tash⁡ty'_x
=\frac{b\operatorname{ch}t}
{a\operatorname{sh}t}Используя равенстваch⁡t=xa,sh⁡t=yb\operatorname{ch}t=\frac xa,
\qquad
\operatorname{sh}t=\frac ybможно записатьyx′=b2xa2yy'_x=\frac{b^2x}{a^2y}При t=0t=0 выполняется
dx/dt=0dx/dt=0, а dy/dt=b≠0dy/dt=b\ne0, поэтому в точке (a,0)(a,0)
касательная вертикальна.
Демидович № 1042 — решение и ответ