Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1042

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную

y'_x

(постоянные параметры положительны), если:

Задача 1042

x=a\operatorname{ch}t,\qquady=b\operatorname{sh}t

Ответ:При

t\ne0

y'_x =\frac{b\operatorname{ch}t}{a\operatorname{sh}t} =\frac{b^2x}{a^2y}

При

t=0

конечной производной

y'_x

нет.

Решение

Постоянные

a

b

положительны. Найдём производные обеих координат по параметру

t

Имеем

\frac{dx}{dt}=a\operatorname{sh}t, \qquad \frac{dy}{dt}=b\operatorname{ch}t

Поэтому при

t\ne0

y'_x =\frac{b\operatorname{ch}t} {a\operatorname{sh}t}

Используя равенства

\operatorname{ch}t=\frac xa, \qquad \operatorname{sh}t=\frac yb

можно записать

y'_x=\frac{b^2x}{a^2y}

При

t=0

выполняется

dx/dt=0

, а

dy/dt=b\ne0

, поэтому в точке

(a,0)

касательная вертикальна.