Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1044

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную yx′y'_x (постоянные параметры положительны), если:

Задача 1044

x=a(t−sin⁡t),y=a(1−cos⁡t)x=a(t-\sin t),
\qquad
y=a(1-\cos t)
Ответ:При t≠2πkt\ne2\pi k
yx′=ctg⁡t2y'_x=\operatorname{ctg}\dfrac t2. В точках t=2πkt=2\pi k
касательная вертикальна.

Решение

По общему условию a>0a>0.
Находим производные координат:dxdt=a(1−cos⁡t),dydt=asin⁡t\frac{dx}{dt}=a(1-\cos t),
\qquad
\frac{dy}{dt}=a\sin tПри t≠2πkt\ne2\pi kyx′=sin⁡t1−cos⁡t=2sin⁡t2cos⁡t22sin⁡2t2=ctg⁡t2\begin{aligned}
y'_x
&=\frac{\sin t}{1-\cos t}
=\frac{2\sin\dfrac t2\cos\dfrac t2}
{2\sin^2\dfrac t2}
=\operatorname{ctg}\frac t2
\end{aligned}В точках t=2πkt=2\pi k обе производные по параметру равны нулю, и
обычная формула неприменима. При t=2πk+ht=2\pi k+h разностное отношение равноΔyΔx=a(1−cos⁡h)a(h−sin⁡h).\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{a(1-\cos h)}{a(h-\sin h)}.Используем 1−cos⁡h∼h2/21-\cos h\sim h^2/2 и h−sin⁡h∼h3/6h-\sin h\sim h^3/6 (последний предел доказан в №645). ПолучаемΔyΔx∼h2/2h3/6=3h.\frac{\Delta y}{\Delta x}\sim\frac{h^2/2}{h^3/6}=\frac3h.С двух сторон отношения имеют противоположные бесконечные пределы, но Δx/Δy→0\Delta x/\Delta y\to0. Поэтому конечной производной нет, а обе стороны кривой имеют одну вертикальную касательную.
Демидович № 1044 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика