Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1044

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

Задача 1044

x=a(t-\sin t),\qquady=a(1-\cos t)

Ответ:При

t\ne2\pi k

y'_x=\operatorname{ctg}\dfrac t2

. В точках

t=2\pi k

касательная вертикальна.

Решение

Находим производные координат:

\frac{dx}{dt}=a(1-\cos t), \qquad \frac{dy}{dt}=a\sin t

При

t\ne2\pi k

\begin{aligned} y'_x &=\frac{\sin t}{1-\cos t} =\frac{2\sin\dfrac t2\cos\dfrac t2} {2\sin^2\dfrac t2} =\operatorname{ctg}\frac t2\end{aligned}

В точках

t=2\pi k

обе производные по параметру равны нулю, и
обычная формула неприменима. При

t=2\pi k+h

имеем

\operatorname{ctg}(h/2)\sim2/h

, поэтому конечной производной

y'_x

нет, а касательная к циклоиде вертикальна.