Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1036

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1036

Определить области существования обратных функций x=x(y)x=x(y) и найти их производные, если:а) y=x+ln⁡x(x>0);б) y=x+ex\text{а) }y=x+\ln x\quad(x>0);
\qquad
\text{б) }y=x+e^xв) y=sh⁡x;г) y=th⁡x\text{в) }y=\operatorname{sh}x;
\qquad
\text{г) }y=\operatorname{th}x
Вывода) Обратная функция существует при y∈Ry\in\mathbb R, иxy′=xx+1x'_y=\frac{x}{x+1}б) Обратная функция существует при y∈Ry\in\mathbb R, иxy′=11+exx'_y=\frac1{1+e^x}в) При y∈Ry\in\mathbb Rx=arsh⁡y,xy′=11+y2x=\operatorname{arsh}y,
\qquad
x'_y=\frac1{\sqrt{1+y^2}}г) При −1<y<1-1<y<1x=arth⁡y,xy′=11−y2x=\operatorname{arth}y,
\qquad
x'_y=\frac1{1-y^2}

Решение

Пункт а)

Пустьφ(x)=x+ln⁡x,x>0\varphi(x)=x+\ln x,
\qquad
x>0Имеемφ′(x)=1+1x>0\varphi'(x)=1+\frac1x>0Строгое возрастание следует из того, что оба слагаемых xx и ln⁡x\ln x строго возрастают. При этомlim⁡x→0+(x+ln⁡x)=−∞,lim⁡x→+∞(x+ln⁡x)=+∞\lim_{x\to0^+}(x+\ln x)=-\infty,
\qquad
\lim_{x\to+\infty}(x+\ln x)=+\inftyСледовательно, обратная функция x=x(y)x=x(y) существует при всех
y∈Ry\in\mathbb R.

По формуле производной обратной функцииdxdy=1dydx=11+1x=xx+1\frac{dx}{dy}
=\frac1{\dfrac{dy}{dx}}
=\frac1{1+\dfrac1x}
=\frac{x}{x+1}

Пункт б)

Для функцииφ(x)=x+ex\varphi(x)=x+e^xполучаемφ′(x)=1+ex>0\varphi'(x)=1+e^x>0Оба слагаемых xx и exe^x строго возрастают, поэтому их сумма строго возрастает. Кроме того,lim⁡x→−∞(x+ex)=−∞,lim⁡x→+∞(x+ex)=+∞\lim_{x\to-\infty}(x+e^x)=-\infty,
\qquad
\lim_{x\to+\infty}(x+e^x)=+\inftyПоэтому обратная функция определена для всех y∈Ry\in\mathbb R, аdxdy=11+ex\frac{dx}{dy}
=\frac1{1+e^x}

Пункт в)

Функцияy=sh⁡xy=\operatorname{sh}xстрого возрастает на R\mathbb R: при v>uv>ush⁡v−sh⁡u=2ch⁡v+u2sh⁡v−u2>0.\operatorname{sh}v-\operatorname{sh}u=2\operatorname{ch}\frac{v+u}2\operatorname{sh}\frac{v-u}2>0.Кроме того,dydx=ch⁡x>0\frac{dy}{dx}=\operatorname{ch}x>0Её область значений совпадает с R\mathbb R, поэтому обратная
функция x=arsh⁡yx=\operatorname{arsh}y существует при всех
y∈Ry\in\mathbb R.
Так какch⁡2x−sh⁡2x=1\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1тоch⁡x=1+y2\operatorname{ch}x=\sqrt{1+y^2}иdxdy=1ch⁡x=11+y2\frac{dx}{dy}
=\frac1{\operatorname{ch}x}
=\frac1{\sqrt{1+y^2}}

Пункт г)

Функцияy=th⁡xy=\operatorname{th}xстрого возрастает на R\mathbb R: при v>uv>uth⁡v−th⁡u=sh⁡(v−u)ch⁡vch⁡u>0.\operatorname{th}v-\operatorname{th}u=\frac{\operatorname{sh}(v-u)}{\operatorname{ch}v\operatorname{ch}u}>0.Её производная равнаdydx=1ch⁡2x>0\frac{dy}{dx}=\frac1{\operatorname{ch}^2x}>0При x→−∞x\to-\infty она стремится к −1-1, а при
x→+∞x\to+\infty — к 11. Поэтому обратная функция существует при−1<y<1-1<y<1и имеет видx=arth⁡y=12ln⁡1+y1−yx=\operatorname{arth}y
=\frac12\ln\frac{1+y}{1-y}Дифференцируя, получаемdxdy=11−y2\frac{dx}{dy}
=\frac1{1-y^2}
Демидович № 1036 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика