Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1036

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1036

Определить области существования обратных функций

x=x(y)

и найти их производные, если:

\text{а) }y=x+\ln x\quad(x>0);\qquad\text{б) }y=x+e^x

\text{в) }y=\operatorname{sh}x;\qquad\text{г) }y=\operatorname{th}x

ВыводОбратная функция существует при

y\in\mathbb R

, и

x'_y=\frac{x}{x+1}

Обратная функция существует при

y\in\mathbb R

, и

x'_y=\frac1{1+e^x}

При

y\in\mathbb R

x=\operatorname{arsh}y, \qquad x'_y=\frac1{\sqrt{1+y^2}}

При

-1<y<1

x=\operatorname{arth}y, \qquad x'_y=\frac1{1-y^2}

Решение

1
Пункт а)
Пусть $\varphi(x)=x+\ln x, \qquad x>0$ Имеем $\varphi'(x)=1+\frac1x>0$ поэтому $\varphi$ строго возрастает. При этом $\lim_{x\to0^+}(x+\ln x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}(x+\ln x)=+\infty$ Следовательно, обратная функция $x=x(y)$ существует при всех
$y\in\mathbb R$ .

По формуле производной обратной функции $\frac{dx}{dy} =\frac1{\dfrac{dy}{dx}} =\frac1{1+\dfrac1x} =\frac{x}{x+1}$
2
Пункт б)
Для функции $\varphi(x)=x+e^x$ получаем $\varphi'(x)=1+e^x>0$ Кроме того, $\lim_{x\to-\infty}(x+e^x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}(x+e^x)=+\infty$ Поэтому обратная функция определена для всех $y\in\mathbb R$ , а $\frac{dx}{dy} =\frac1{1+e^x}$
3
Пункт в)
Функция $y=\operatorname{sh}x$ строго возрастает на $\mathbb R$ , поскольку $\frac{dy}{dx}=\operatorname{ch}x>0$ Её область значений совпадает с $\mathbb R$ , поэтому обратная
функция $x=\operatorname{arsh}y$ существует при всех
$y\in\mathbb R$ .
4
Так как $\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1$ то $\operatorname{ch}x=\sqrt{1+y^2}$ и $\frac{dx}{dy} =\frac1{\operatorname{ch}x} =\frac1{\sqrt{1+y^2}}$
5
Пункт г)
Функция $y=\operatorname{th}x$ строго возрастает на $\mathbb R$ , так как $\frac{dy}{dx}=\frac1{\operatorname{ch}^2x}>0$ При $x\to-\infty$ она стремится к $-1$ , а при
$x\to+\infty$ — к $1$ . Поэтому обратная функция существует при $-1<y<1$ и имеет вид $x=\operatorname{arth}y =\frac12\ln\frac{1+y}{1-y}$ Дифференцируя, получаем $\frac{dx}{dy} =\frac1{1-y^2}$