Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1048

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную

y'_x

от следующих функций, заданных неявно:

Задача 1048

x^2+2xy-y^2=2x

Чему равно

y'

при

x=2

y=4

и при

x=2

y=0

Ответ:

y'_x=\frac{1-x-y}{x-y}

В указанных точках

y'_x(2,4)=\frac52, \qquad y'_x(2,0)=-\frac12

Решение

Решив квадратное уравнение относительно

y

, получаем

y=x\pm\sqrt{2x^2-2x}

. При

x=2

подкоренное выражение равно

8-4=4>0

, поэтому обе ветви дифференцируемы в окрестностях указанных точек. Считаем

y=y(x)

и дифференцируем обе части уравнения по

x

2x+2(y+xy'_x)-2yy'_x=2

Разделим равенство на

2

x+y+xy'_x-yy'_x=1

Собирая слагаемые с производной, получаем

(x-y)y'_x=1-x-y

Поэтому при

x\ne y

y'_x=\frac{1-x-y}{x-y}

В точке

(2,4)

y'_x=\frac{1-2-4}{2-4} =\frac{-5}{-2} =\frac52

В точке

(2,0)

y'_x=\frac{1-2-0}{2-0} =-\frac12