Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1034

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Показать, что существует однозначная функция

y=y(x)

, определяемая уравнением

Задача 1034

y^3+3y=x

и найти её производную

y'_x

Доказано:Для каждого

x\in\mathbb R

уравнение определяет
единственную функцию

y=y(x)

, причём

y'_x=\frac1{3(1+y^2)}

Доказательство

Рассмотрим функцию

\varphi(y)=y^3+3y

Она непрерывна на всей числовой прямой, причём

\varphi'(y)=3y^2+3>0

Строгое возрастание проверим непосредственно. При

v>u

\varphi(v)-\varphi(u)=(v-u)(v^2+uv+u^2+3)>0,

поскольку

v^2+uv+u^2=(v+u/2)^2+3u^2/4\geqslant0

. Кроме того,

\lim_{y\to-\infty}\varphi(y)=-\infty, \qquad \lim_{y\to+\infty}\varphi(y)=+\infty

Поэтому функция

\varphi

принимает каждое действительное значение
ровно один раз. Значит, для любого

x\in\mathbb R

уравнение

y^3+3y=x

имеет единственное действительное решение

y=y(x)

Поскольку производная функции

\varphi

нигде не обращается в нуль,
по теореме о производной обратной функции обратная функция

y=y(x)

дифференцируема.

Проверка

Продифференцируем равенство по

x

3y^2y'_x+3y'_x=1

Отсюда

(3y^2+3)y'_x=1

и, поскольку

3y^2+3\ne0

y'_x=\frac1{3y^2+3}

Что и требовалось доказать