Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1034

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Показать, что существует однозначная функция y=y(x)y=y(x), определяемая уравнением

Задача 1034

y3+3y=xy^3+3y=xи найти её производную yx′y'_x.
Доказано:Для каждого x∈Rx\in\mathbb R уравнение определяет
единственную функцию y=y(x)y=y(x), причёмyx′=13(1+y2)y'_x=\frac1{3(1+y^2)}

Доказательство

Идея

Рассмотрим функциюφ(y)=y3+3y\varphi(y)=y^3+3yОна непрерывна на всей числовой прямой, причёмφ′(y)=3y2+3>0\varphi'(y)=3y^2+3>0Следовательно, φ\varphi строго возрастает. Кроме того,lim⁡y→−∞φ(y)=−∞,lim⁡y→+∞φ(y)=+∞\lim_{y\to-\infty}\varphi(y)=-\infty,
\qquad
\lim_{y\to+\infty}\varphi(y)=+\inftyПоэтому функция φ\varphi принимает каждое действительное значение
ровно один раз. Значит, для любого x∈Rx\in\mathbb R уравнениеy3+3y=xy^3+3y=xимеет единственное действительное решение y=y(x)y=y(x).
Поскольку производная функции φ\varphi нигде не обращается в нуль,
по теореме о производной обратной функции обратная функция
y=y(x)y=y(x) дифференцируема.

Проверка

Продифференцируем равенство по xx:3y2yx′+3yx′=13y^2y'_x+3y'_x=1Отсюда(3y2+3)yx′=1(3y^2+3)y'_x=1и, поскольку 3y2+3≠03y^2+3\ne0,yx′=13y2+3y'_x=\frac1{3y^2+3}

Что и требовалось доказать