Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1038

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1038

Построить эскиз графика функции y=y(x)y=y(x) и найти производную yx′(x)y'_x(x),
еслиx=−1+2t−t2y=2−3t+t3x=-1+2t-t^2
\qquad
y=2-3t+t^3Чему равна yx′(x)y'_x(x) при x=0x=0 и при x=−1x=-1? В какой точке M(x,y)M(x,y)
производная yx′(x)=0y'_x(x)=0?
Ответ:При x=0x=0 левая производная каждой из двух непрерывно
продолженных ветвей равна −3-3, поэтому обе ветви имеют в точке (0,0)(0,0)
общую касательную y=−3xy=-3x. При x=−1x=-1 получаются значения
yx′=−32y'_x=-\frac32 в точке (−1,2)(-1,2) и yx′=−92y'_x=-\frac92 в точке (−1,4)(-1,4).
Производная обращается в нуль в точке M(−4,4)M(-4,4).

Решение

Сначала упростим параметрические уравнения. Положимu=t−1u=t-1Тогдаx=−u2y=u2(u+3)x=-u^2
\qquad
y=u^2(u+3)Отсюда сразу следует, что x⩽0x\leqslant0. При каждом x<0x<0 параметр uu
может принимать два значения:u=−−xилиu=−xu=-\sqrt{-x}
\qquad\text{или}\qquad
u=\sqrt{-x}Поэтому параметрическая кривая состоит из двух ветвейy−(x)=−x(3−−x)t<1y_-(x)=-x\bigl(3-\sqrt{-x}\bigr)
\qquad t<1y+(x)=−x(3+−x)t>1y_+(x)=-x\bigl(3+\sqrt{-x}\bigr)
\qquad t>1Обе ветви определены при x<0x<0 и непрерывно продолжаются в общую точку
(0,0)(0,0), которой соответствует t=1t=1. При каждом x<0x<0 их значения
различны, посколькуy+(x)−y−(x)=2(−x)−x>0x<0y_+(x)-y_-(x)=2(-x)\sqrt{-x}>0
\qquad x<0Следовательно, вся параметрическая кривая не является графиком однозначной
функции y(x)y(x); производную yx′y'_x нужно понимать отдельно на каждой ветви.
Найдём производную по параметру:dxdt=2−2t=−2(t−1)\frac{dx}{dt}=2-2t=-2(t-1)dydt=3t2−3=3(t−1)(t+1)\frac{dy}{dt}=3t^2-3=3(t-1)(t+1)При t≠1t\ne1 имеемyx′=dy/dtdx/dt=−32(t+1)y'_x=\frac{dy/dt}{dx/dt}
=-\frac32(t+1)Используя t=1+ut=1+u, можно записать производные ветвей через xx:y−′(x)=−3+32−xt<1y'_-(x)=-3+\frac32\sqrt{-x}
\qquad t<1y+′(x)=−3−32−xt>1y'_+(x)=-3-\frac32\sqrt{-x}
\qquad t>1В точке t=1t=1 обе производные dx/dtdx/dt и dy/dtdy/dt равны нулю, поэтому
обычную формулу отношения производных применять нельзя. Здесьx(1)=0y(1)=0x(1)=0
\qquad
y(1)=0Вычислим наклон предельной секущей непосредственно. При u≠0u\ne0y(t)−y(1)x(t)−x(1)=u2(u+3)−u2=−(u+3)\frac{y(t)-y(1)}{x(t)-x(1)}
=\frac{u^2(u+3)}{-u^2}=-(u+3)Следовательно,lim⁡u→0−(u+3)=−3\lim_{u\to0}-(u+3)=-3Так как область параметрической кривой по переменной xx имеет вид
x⩽0x\leqslant0, в точке x=0x=0 речь идёт о левой производной каждой
непрерывно продолженной ветви. Поэтомуy−, лев′(0)=y+, лев′(0)=−3y'_{-,\,\mathrm{лев}}(0)
=y'_{+,\,\mathrm{лев}}(0)
=-3Обе ветви подходят к началу координат с общей касательнойy=−3xy=-3x
Теперь рассмотрим x=−1x=-1. Из равенства −(t−1)2=−1-(t-1)^2=-1 получаем два
значения параметра:t=0иt=2t=0
\qquad\text{и}\qquad
t=2Им соответствуют разные точки кривой:t=0M1=(−1,2)yx′=−32t=0
\qquad
M_1=(-1,2)
\qquad
y'_x=-\frac32t=2M2=(−1,4)yx′=−92t=2
\qquad
M_2=(-1,4)
\qquad
y'_x=-\frac92Таким образом, при одной и той же абсциссе x=−1x=-1 производная принимает
два значения, поскольку на вертикальной прямой x=−1x=-1 находятся две точки
параметрической кривой.

Наконец, условие yx′=0y'_x=0 даёт−32(t+1)=0t=−1-\frac32(t+1)=0
\qquad
t=-1При этомx(−1)=−4y(−1)=4x(-1)=-4
\qquad
y(-1)=4Следовательно, горизонтальная касательная имеется в точкеM(−4,4)M(-4,4)

Построение графика

Синяя ветвь соответствует t<1t<1, розовая --- t>1t>1.
Обе ветви сходятся в общей точке (0,0)(0,0), соответствующей t=1t=1; поэтому
эта точка отмечена нейтральным чёрным цветом. Пунктиром показана общая
касательная y=−3xy=-3x. На синей ветви отмечена точка M(−4,4)M(-4,4) с
горизонтальной касательной. Точки (−1,2)(-1,2) и (−1,4)(-1,4) показывают, почему
при x=−1x=-1 получаются два значения производной. Стрелки на обрезанных
концах показывают, что обе ветви продолжаются за пределами рисунка.график к задаче Демидовича № 1038

Ответ

При x=0x=0 левая производная каждой из двух непрерывно
продолженных ветвей равна −3-3, поэтому обе ветви имеют в точке (0,0)(0,0)
общую касательную y=−3xy=-3x. При x=−1x=-1 получаются значения
yx′=−32y'_x=-\frac32 в точке (−1,2)(-1,2) и yx′=−92y'_x=-\frac92 в точке (−1,4)(-1,4).
Производная обращается в нуль в точке M(−4,4)M(-4,4).