Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1049

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1049

y^2=2px

(парабола).

Ответ:При

y\ne0

y'_x=\frac py

В вершине

(0,0)

касательная вертикальна.

Решение

Идея

Дифференцируем равенство по

x

2y\,y'_x=2p

При

y\ne0

отсюда следует

y'_x=\frac py

В вершине параболы

(0,0)

деление на

y

невозможно. Ветви
параболы имеют вид

y=\pm\sqrt{2px}

и при

x\to0^+

модуль их производной неограниченно возрастает.
Поэтому в вершине касательная вертикальна и конечной производной

y'_x

нет.