Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1049

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную

y'_x

от следующих функций, заданных неявно:

Задача 1049

y^2=2px

(парабола).

Ответ:При

y\ne0

y'_x=\frac py

В вершине

(0,0)

касательная вертикальна.

Решение

Дифференцируем равенство по

x

2y\,y'_x=2p

При

y\ne0

отсюда следует

y'_x=\frac py

В вершине параболы

(0,0)

деление на

y

невозможно. Ветви
параболы имеют вид

y=\pm\sqrt{2px}

и при

x\to0

со стороны

px>0

модуль разностного отношения

y/x

неограниченно возрастает.
Поэтому в вершине касательная вертикальна и конечной производной

y'_x

нет.

Проверка

Для невырожденной параболы

p\ne0

. В вершине модуль разностного отношения на любой ветви равен

|y/x|=\sqrt{2|p|/|x|}\to\infty

при подходе со стороны

px>0

. Это доказывает вертикальность касательной и при

p<0

. При

p=0

уравнение даёт

y=0

, и производная всюду равна нулю.