Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1041

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную yx′y'_x (постоянные параметры положительны), если:

Задача 1041

x=acos⁡t,y=bsin⁡tx=a\cos t,
\qquad
y=b\sin t
Ответ:При sin⁡t≠0\sin t\ne0yx′=−bcos⁡tasin⁡t=−b2xa2yy'_x=-\frac{b\cos t}{a\sin t}
=-\frac{b^2x}{a^2y}В точках t=πkt=\pi k касательная вертикальна.

Решение

Постоянные aa и bb положительны. Найдём производные обеих координат по параметру tt.
Дифференцируем координаты по параметру:dxdt=−asin⁡t,dydt=bcos⁡t\frac{dx}{dt}=-a\sin t,
\qquad
\frac{dy}{dt}=b\cos tЕсли sin⁡t≠0\sin t\ne0, тоyx′=dydtdxdt=−bcos⁡tasin⁡ty'_x
=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}
=-\frac{b\cos t}{a\sin t}Посколькуcos⁡t=xa,sin⁡t=yb\cos t=\frac xa,
\qquad
\sin t=\frac ybполучаем такжеyx′=−b2xa2yy'_x=-\frac{b^2x}{a^2y}При t=πkt=\pi k имеем dx/dt=0dx/dt=0, а dy/dt≠0dy/dt\ne0, поэтому в точках
(±a,0)(\pm a,0) касательная вертикальна и конечной производной
yx′y'_x нет.
Демидович № 1041 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика