Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1039

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную yx′y'_x (постоянные параметры положительны), если:

Задача 1039

x=1−t3,y=1−t3x=\sqrt[3]{1-\sqrt t},
\qquad
y=\sqrt{1-\sqrt[3]t}
Ответ:При 0<t<10<t<1yx′=(1−t)2/3t1/61−t3=x2t1/6yy'_x=
\frac{(1-\sqrt t)^{2/3}}
{t^{1/6}\sqrt{1-\sqrt[3]t}}
=\frac{x^2}{t^{1/6}y}а при t=1t=1, то есть в точке (0,0)(0,0), соответствующая правая
производная равна 00. При t=0t=0, то есть в точке (1,1)(1,1),
конечной производной нет: касательная вертикальна.

Решение

Для вещественных значений yy необходимо1−t3⩾01-\sqrt[3]t\geqslant0При t⩾0t\geqslant0 это даёт 0⩽t⩽10\leqslant t\leqslant1.
Сначала рассмотрим 0<t<10<t<1. Дифференцируя обе координаты по
параметру, получаемdxdt=−16t (1−t)2/3\frac{dx}{dt}
=-\frac1{6\sqrt t\,(1-\sqrt t)^{2/3}}иdydt=−16t2/31−t3\frac{dy}{dt}
=-\frac1{6t^{2/3}\sqrt{1-\sqrt[3]t}}Следовательно,yx′=dydtdxdt=(1−t)2/3t1/61−t3\begin{aligned}
y'_x
&=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}
=\frac{(1-\sqrt t)^{2/3}}
{t^{1/6}\sqrt{1-\sqrt[3]t}}
\end{aligned}Посколькуx2=(1−t)2/3,y=1−t3x^2=(1-\sqrt t)^{2/3},
\qquad
y=\sqrt{1-\sqrt[3]t}тот же результат можно записать так:yx′=x2t1/6yy'_x=\frac{x^2}{t^{1/6}y}
В точке t=1t=1 имеем x=y=0x=y=0, а обычная параметрическая формула
неприменима. Исключим параметр:t=1−x3,t3=(1−x3)2/3,y=1−(1−x3)2/3\begin{aligned}
\sqrt t&=1-x^3,\\
\sqrt[3]t&=(1-x^3)^{2/3},\\
y&=\sqrt{1-(1-x^3)^{2/3}}
\end{aligned}При x→0+x\to0^+1−(1−x3)2/3∼23x31-(1-x^3)^{2/3}\sim\frac23x^3и, следовательно,y(x)−y(0)x∼23 x⟶0\frac{y(x)-y(0)}x
\sim\sqrt{\frac23}\,\sqrt x
\longrightarrow0Значит, правая производная в конечной точке кривой равна нулю.

Проверка

При t=0t=0 получаем (x,y)=(1,1)(x,y)=(1,1). Для x→1−x\to1- рационализируем именно разностное отношение:y(x)−1x−1=−(1−x3)2/3(x−1)(1+y(x))=(1+x+x2)2/3(1−x)1/3(1+y(x))⟶+∞.\frac{y(x)-1}{x-1}
=\frac{-(1-x^3)^{2/3}}{(x-1)(1+y(x))}
=\frac{(1+x+x^2)^{2/3}}{(1-x)^{1/3}(1+y(x))}\longrightarrow+\infty.Числитель стремится к 32/33^{2/3}, множитель 1+y(x)1+y(x) — к 22, а (1−x)1/3(1-x)^{1/3} — к нулю справа. Следовательно, в точке (1,1)(1,1) касательная вертикальна.