Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1054

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1054

Найти yx′y'_x, если:а) r=aφ(спираль Архимеда)\text{а) }r=a\varphi\quad\text{(спираль Архимеда)}б) r=a(1+cos⁡φ)(кардиоида)\text{б) }r=a(1+\cos\varphi)\quad\text{(кардиоида)}в) r=aemφ(логарифмическая спираль)\text{в) }r=ae^{m\varphi}\quad\text{(логарифмическая спираль)}гдеr=x2+y2,φ=arctg⁡yxr=\sqrt{x^2+y^2},
\qquad
\varphi=\operatorname{arctg}\frac yx— полярные координаты.
Ответ:Для спирали Архимедаyx′=sin⁡φ+φcos⁡φcos⁡φ−φsin⁡φy'_x=
\frac{\sin\varphi+\varphi\cos\varphi}
{\cos\varphi-\varphi\sin\varphi}при cos⁡φ−φsin⁡φ≠0\cos\varphi-\varphi\sin\varphi\ne0. Если знаменатель равен
нулю, касательная вертикальна.

Для кардиоиды в регулярных точкахyx′=−cos⁡2φ+cos⁡φsin⁡φ(1+2cos⁡φ)y'_x=
-\frac{\cos2\varphi+\cos\varphi}
{\sin\varphi(1+2\cos\varphi)}В точке возврата φ=π+2πk\varphi=\pi+2\pi k наклон касательной равен
00. При остальных нулях знаменателя касательная вертикальна.

Для логарифмической спиралиyx′=msin⁡φ+cos⁡φmcos⁡φ−sin⁡φy'_x=
\frac{m\sin\varphi+\cos\varphi}
{m\cos\varphi-\sin\varphi}при mcos⁡φ−sin⁡φ≠0m\cos\varphi-\sin\varphi\ne0. Если знаменатель равен нулю,
касательная вертикальна.

Решение

Идея

Здесь φ\varphi понимается как полярный угол, выбранный с учётом
квадранта и, при необходимости, отличающийся на 2πk2\pi k. Равенствоφ=arctg⁡yx\varphi=\operatorname{arctg}\frac yxследует понимать локально на выбранной ветви кривой.
  1. 1
    Для любой кривой, заданной в полярных координатах равенством
    r=r(φ)r=r(\varphi), имеемx=rcos⁡φ,y=rsin⁡φx=r\cos\varphi,
    \qquad
    y=r\sin\varphi    Поэтомуdxdφ=r′cos⁡φ−rsin⁡φ,dydφ=r′sin⁡φ+rcos⁡φ\begin{aligned}
    \frac{dx}{d\varphi}
    &=r'\cos\varphi-r\sin\varphi,\\
    \frac{dy}{d\varphi}
    &=r'\sin\varphi+r\cos\varphi
    \end{aligned}    Если dx/dφ≠0dx/d\varphi\ne0, то общая формула принимает видyx′=r′sin⁡φ+rcos⁡φr′cos⁡φ−rsin⁡φy'_x=
    \frac{r'\sin\varphi+r\cos\varphi}
    {r'\cos\varphi-r\sin\varphi}
  2. 2

    Пункт а)

    Для спирали Архимедаr=aφ,r′=ar=a\varphi,
    \qquad
    r'=a    Подставляя эти выражения в общую формулу, получаемyx′=sin⁡φ+φcos⁡φcos⁡φ−φsin⁡φy'_x=
    \frac{\sin\varphi+\varphi\cos\varphi}
    {\cos\varphi-\varphi\sin\varphi}
  3. 3

    Пункт б)

    Для кардиоидыr=a(1+cos⁡φ),r′=−asin⁡φr=a(1+\cos\varphi),
    \qquad
    r'=-a\sin\varphi    Тогдаr′sin⁡φ+rcos⁡φ=a(cos⁡2φ+cos⁡φ),r′cos⁡φ−rsin⁡φ=−asin⁡φ(1+2cos⁡φ)\begin{aligned}
    r'\sin\varphi+r\cos\varphi
    &=a(\cos2\varphi+\cos\varphi),\\
    r'\cos\varphi-r\sin\varphi
    &=-a\sin\varphi(1+2\cos\varphi)
    \end{aligned}    Следовательно,yx′=−cos⁡2φ+cos⁡φsin⁡φ(1+2cos⁡φ)y'_x=
    -\frac{\cos2\varphi+\cos\varphi}
    {\sin\varphi(1+2\cos\varphi)}    если знаменатель отличен от нуля.

    При φ=π+2πk\varphi=\pi+2\pi k имеем r=0r=0, и обе производные по
    параметру обращаются в нуль. Положив
    φ=π+h\varphi=\pi+h, получаемx∼−a2h2,y∼−a2h3x\sim-\frac a2h^2,
    \qquad
    y\sim-\frac a2h^3    поэтому наклон касательной стремится к нулю. В вершине кардиоиды
    (0,0)(0,0) касательная горизонтальна.
  4. 4

    Пункт в)

    Для логарифмической спиралиr=aemφ,r′=mrr=ae^{m\varphi},
    \qquad
    r'=mr    По общей формулеyx′=mrsin⁡φ+rcos⁡φmrcos⁡φ−rsin⁡φ==msin⁡φ+cos⁡φmcos⁡φ−sin⁡φ\begin{aligned}
    y'_x
    &=\frac{mr\sin\varphi+r\cos\varphi}
    {mr\cos\varphi-r\sin\varphi}=\\
    &=\frac{m\sin\varphi+\cos\varphi}
    {m\cos\varphi-\sin\varphi}
    \end{aligned}
Демидович № 1054 — решение и ответ