Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1052

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную

y'_x

от следующих функций, заданных неявно:

Задача 1052

x^{\frac23}+y^{\frac23}=a^{\frac23}\qquad\text{(астроида)}

Ответ:При

xy\ne0

y'_x=-\sqrt[3]{\frac yx}

В точках

(\pm a,0)

наклон касательной равен

0

, а в точках

(0,\pm a)

касательная вертикальна.

Решение

В точках, где

x\ne0

y\ne0

, дифференцируем уравнение:

\frac23x^{-1/3} +\frac23y^{-1/3}y'_x=0

Отсюда

y^{-1/3}y'_x=-x^{-1/3}

y'_x=-\sqrt[3]{\frac yx}

При

a\ne0

это та же астроида, что в №1043:

x=a\cos^3t

y=a\sin^3t

. Там разностными отношениями показано, что в точках

(\pm a,0)

касательные горизонтальны, а в

(0,\pm a)

— вертикальны. При

a=0

остаётся только точка

(0,0)

, которая не задаёт дифференцируемую функцию.