Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1052

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

Задача 1052

x23+y23=a23(астроида)x^{\frac23}+y^{\frac23}=a^{\frac23}
\qquad
\text{(астроида)}
Ответ:При xy≠0xy\ne0yx′=−yx3y'_x=-\sqrt[3]{\frac yx}В точках (±a,0)(\pm a,0) наклон касательной равен 00, а в точках
(0,±a)(0,\pm a) касательная вертикальна.

Решение

Идея

В точках, где x≠0x\ne0 и y≠0y\ne0, дифференцируем уравнение:23x−1/3+23y−1/3yx′=0\frac23x^{-1/3}
+\frac23y^{-1/3}y'_x=0Отсюдаy−1/3yx′=−x−1/3y^{-1/3}y'_x=-x^{-1/3}иyx′=−yx3y'_x=-\sqrt[3]{\frac yx}
Если y=0y=0, то x=±ax=\pm a. На каждой ветви астроиды при приближении
к этим точкам−yx3⟶0-\sqrt[3]{\frac yx}\longrightarrow0поэтому касательная горизонтальна. Если x=0x=0, то y=±ay=\pm a, а
модуль производной неограниченно возрастает; касательная вертикальна.
Демидович № 1052 — решение и ответ