Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1051

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную yx′y'_x от следующих функций, заданных неявно:

Задача 1051

x+y=a\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}(парабола).
Ответ:При 0<x<a0<x<ayx′=1−ax=−yxy'_x=1-\sqrt{\frac ax}
=-\sqrt{\frac yx}В точке (a,0)(a,0) левая производная равна 00. В точке
(0,a)(0,a) конечной правой производной нет; касательная вертикальна.

Решение

При a>0a>0 из наличия квадратных корней следуетx⩾0,y⩾0x\geqslant0,
\qquad
y\geqslant0Кроме того,y=a−x\sqrt y=\sqrt a-\sqrt xпоэтому 0⩽x⩽a0\leqslant x\leqslant a иy=(a−x)2=a+x−2axy=(\sqrt a-\sqrt x)^2
=a+x-2\sqrt{ax}При 0<x<a0<x<a дифференцирование явной формулы даётyx′=1−axy'_x=1-\sqrt{\frac ax}Так как y=a−x\sqrt y=\sqrt a-\sqrt x, это выражение можно переписать:yx′=−yxy'_x=-\sqrt{\frac yx}
В точке x=ax=a существует только левая производная, иy−′(a)=0y'_-(a)=0При x→0+x\to0^+yx′=1−ax⟶−∞y'_x=1-\sqrt{\frac ax}\longrightarrow-\inftyпоэтому в точке (0,a)(0,a) касательная вертикальна.

Проверка

При a>0a>0 проверка правого разностного отношения в нуле даётy(h)−y(0)h=h−2ahh=1−2ah⟶−∞.\frac{y(h)-y(0)}h=\frac{h-2\sqrt{ah}}h=1-\frac{2\sqrt a}{\sqrt h}\longrightarrow-\infty.При a=0a=0 уравнение задаёт только точку (0,0)(0,0); при a<0a<0 вещественных точек нет. В этих случаях производная функции не определяется.
Демидович № 1051 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика