Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Демидович — задача 1046

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

Задача 1046

x=\arcsin\frac{t}{\sqrt{1+t^2}},\qquady=\arccos\frac1{\sqrt{1+t^2}}

Ответ:

y'_x= \begin{cases} -1,&t<0,\\ 1,&t>0 \end{cases}

При

t=0

производная

y'_x

не существует.

Решение

Идея

Поскольку

\sin(\operatorname{arctg}t)=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}

\operatorname{arctg}t\in\left(-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right)

, имеем

x=\operatorname{arctg}t

Для второй координаты важно учесть знак параметра:

\cos(\operatorname{arctg}|t|)=\frac1{\sqrt{1+t^2}}, \qquad \operatorname{arctg}|t|\in\left[0,\frac\pi2\right)

Следовательно,

y=\operatorname{arctg}|t|

Таким образом,

y=|x|

При

t\ne0

можно воспользоваться параметрической формулой:

\frac{dx}{dt}=\frac1{1+t^2}, \qquad \frac{dy}{dt}=\frac{\operatorname{sgn}t}{1+t^2}

y'_x =\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} =\operatorname{sgn}t

В точке

t=0

получаем

x=y=0

, и функция

y=|x|

не имеет
производной:

y'_-(0)=-1, \qquad y'_+(0)=1