Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба

Демидович — задача 1303

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти промежутки вогнутости определённого знака и точки перегиба графика функции:

y=x+\sin x

Решение

Область определения функции:

D(y) = (-\infty, +\infty)

Функция непрерывна и бесконечно дифференцируема на всей числовой прямой.

Найдём первую и вторую производные:

y' = (x + \sin x)' = 1 + \cos x

y'' = (1 + \cos x)' = -\sin x

Найдём возможные абсциссы точек перегиба, приравняв вторую производную к нулю:

y'' = 0 \iff -\sin x = 0 \iff \sin x = 0 \iff x_k = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Исследуем знаки второй производной на интервалах между нулями:

— Если

x \in (2k\pi, (2k+1)\pi), \; k \in \mathbb{Z}

, то

\sin x > 0

, откуда:

y'' = -\sin x < 0

Следовательно, на этих интервалах график вогнут вниз (выпукл вверх).

— Если

x \in ((2k-1)\pi, 2k\pi), \; k \in \mathbb{Z}

, то

\sin x < 0

, откуда:

y'' = -\sin x > 0

Следовательно, на этих интервалах график вогнут вверх (выпукл вниз).

В каждой точке

x_k = k\pi

(

k \in \mathbb{Z}

) вторая производная меняет свой знак, следовательно, все эти точки являются абсциссами точек перегиба.

Проверка

Найдём соответствующие ординаты:

y(k\pi) = k\pi + \sin(k\pi) = k\pi

Таким образом:

\text{Вогнутость вниз: } x \in (2k\pi, (2k+1)\pi), \quad k \in \mathbb{Z}

\text{Вогнутость вверх: } x \in ((2k-1)\pi, 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}

\text{Точки перегиба: } (k\pi, k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}