Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба

Демидович — задача 1303

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти промежутки вогнутости определённого знака и точки перегиба графика функции:

Задача 1303

y=x+sin⁡xy=x+\sin x

Решение

Идея

Область определения функции:D(y)=(−∞,+∞)D(y) = (-\infty, +\infty)Функция непрерывна и бесконечно дифференцируема на всей числовой прямой.
Найдём первую и вторую производные:y′=(x+sin⁡x)′=1+cos⁡xy' = (x + \sin x)' = 1 + \cos xy′′=(1+cos⁡x)′=−sin⁡xy'' = (1 + \cos x)' = -\sin xНайдём критические точки второго рода, приравняв вторую производную к нулю:y′′=0  ⟺  −sin⁡x=0  ⟺  sin⁡x=0  ⟺  xk=kπ,k∈Zy'' = 0 \iff -\sin x = 0 \iff \sin x = 0 \iff x_k = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}Исследуем знаки второй производной на интервалах между нулями:

— Если x∈(2kπ,(2k+1)π),  k∈Zx \in (2k\pi, (2k+1)\pi), \; k \in \mathbb{Z}, то sin⁡x>0\sin x > 0, откуда:y′′=−sin⁡x<0y'' = -\sin x < 0Следовательно, на этих интервалах график вогнут вниз (выпукл вверх).

— Если x∈((2k−1)π,2kπ),  k∈Zx \in ((2k-1)\pi, 2k\pi), \; k \in \mathbb{Z}, то sin⁡x<0\sin x < 0, откуда:y′′=−sin⁡x>0y'' = -\sin x > 0Следовательно, на этих интервалах график вогнут вверх (выпукл вниз).

В каждой точке xk=kπx_k = k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z}) вторая производная меняет свой знак, следовательно, все эти точки являются абсциссами точек перегиба.

Проверка

Найдём соответствующие ординаты:y(kπ)=kπ+sin⁡(kπ)=kπy(k\pi) = k\pi + \sin(k\pi) = k\piТаким образом:Вогнутость вниз: x∈(2kπ,(2k+1)π),k∈Z\text{Вогнутость вниз: } x \in (2k\pi, (2k+1)\pi), \quad k \in \mathbb{Z}Вогнутость вверх: x∈((2k−1)π,2kπ),k∈Z\text{Вогнутость вверх: } x \in ((2k-1)\pi, 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}Точки перегиба: (kπ,kπ),k∈Z\text{Точки перегиба: } (k\pi, k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}
Демидович № 1303 — решение