Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба

Демидович — задача 1305

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти промежутки вогнутости определённого знака и точки перегиба графика функции:

y=\ln(1+x^2)

Ответ:Вогнутость вниз (выпуклость вверх):

x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)

.
Вогнутость вверх (выпуклость вниз):

x \in (-1, 1)

.
Точки перегиба:

(-1, \ln 2)

(1, \ln 2)

Решение

Так как выражение под знаком логарифма

1+x^2 \ge 1 > 0

при любых действительных

x

, область определения функции:

D(y) = (-\infty, +\infty)

Найдём первую производную, применяя правило дифференцирования сложной функции:

y' = \frac{1}{1+x^2} \cdot (1+x^2)' = \frac{2x}{1+x^2}

Найдём вторую производную:

y'' = \frac{(2x)'(1+x^2) - 2x(1+x^2)'}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1+x^2) - 2x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}

Приравняем вторую производную к нулю. Поскольку знаменатель

(1+x^2)^2 > 0

при всех

x

, имеем:

y'' = 0 \iff 1 - x^2 = 0 \iff x = \pm 1

Определим знак второй производной на полученных интервалах:

— При

x \in (-\infty, -1)

имеем

y'' < 0

, следовательно, график функции вогнут вниз (выпукл вверх).

— При

x \in (-1, 1)

имеем

y'' > 0

, следовательно, график функции вогнут вверх (выпукл вниз).

— При

x \in (1, +\infty)

имеем

y'' < 0

, следовательно, график функции вогнут вниз (выпукл вверх).

При переходе через точки

x = -1

x = 1

вторая производная меняет знак. Обе точки принадлежат области определения, и в них существует касательная. Значит, это абсциссы точек перегиба.

Проверка

Найдём ординаты точек перегиба:

y(\pm 1) = \ln(1 + (\pm 1)^2) = \ln 2