Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба

Демидович — задача 1316

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1316

Пусть функция f(x)f(x) дважды дифференцируема в интервале (a,b)(a,b) и f′′(ξ)≠0f''(\xi)\ne0, где a<ξ<ba<\xi<b. Доказать, что в интервале (a,b)(a,b) можно найти два значения x1x_1 и x2x_2 такие, чтоf(x2)−f(x1)x2−x1=f′(ξ).\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(\xi).

Доказательство

Идея

Рассмотрим вспомогательную функцию:F(x)=f(x)−xf′(ξ)F(x) = f(x) - x f'(\xi)Найдём её первую и вторую производные в точке x=ξx = \xi:F′(ξ)=f′(ξ)−f′(ξ)=0F'(\xi) = f'(\xi) - f'(\xi) = 0F′′(ξ)=f′′(ξ)≠0F''(\xi) = f''(\xi) \ne 0Для определённости будем считать, что F′′(ξ)>0F''(\xi) > 0 (случай F′′(ξ)<0F''(\xi) < 0 разбирается симметрично).
Так как вторая производная строго больше нуля, первая производная F′(x)F'(x) строго возрастает в точке ξ\xi. Поскольку F′(ξ)=0F'(\xi) = 0, найдётся такая проколотая окрестность точки ξ\xi, в которой производная F′(x)F'(x) имеет разные знаки слева и справа:
— при x∈(ξ−δ,ξ)x \in (\xi - \delta, \xi) выполняется F′(x)<0F'(x) < 0;

— при x∈(ξ,ξ+δ)x \in (\xi, \xi + \delta) выполняется F′(x)>0F'(x) > 0.

Это означает, что функция F(x)F(x) строго убывает слева от ξ\xi и строго возрастает справа от ξ\xi. Следовательно, в точке x=ξx = \xi функция F(x)F(x) имеет строгий локальный минимум.

Проверка

Выберем достаточно малое число ε>0\varepsilon > 0 так, чтобы значение C=F(ξ)+εC = F(\xi) + \varepsilon было строго меньше значений функции на концах отрезка [ξ−δ,ξ+δ][\xi-\delta, \xi+\delta]. В силу непрерывности F(x)F(x) и её строгой монотонности по обе стороны от минимума, по теореме Больцано-Коши найдутся ровно две точки x1∈(ξ−δ,ξ)x_1 \in (\xi-\delta, \xi) и x2∈(ξ,ξ+δ)x_2 \in (\xi, \xi+\delta), в которых функция принимает равные значения:F(x1)=F(x2)=CF(x_1) = F(x_2) = CПодставим исходное выражение для F(x)F(x):f(x1)−x1f′(ξ)=f(x2)−x2f′(ξ)f(x_1) - x_1 f'(\xi) = f(x_2) - x_2 f'(\xi)Сгруппируем слагаемые:f(x2)−f(x1)=f′(ξ)(x2−x1)f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1)Разделив на (x2−x1)≠0(x_2 - x_1) \ne 0, получаем искомое равенство:f(x2)−f(x1)x2−x1=f′(ξ)\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = f'(\xi)Что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1316 — решение