Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба

Демидович — задача 1298

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Исследовать направление вогнутости кривой

y=1+\sqrt[3]{x}

в точках

A(-1,0)

B(1,2)

C(0,1)

Решение

При

x\ne0

находим

y'=\frac1{3x^{2/3}},\qquad y''=-\frac2{9x^{5/3}}=-\frac2{9x\sqrt[3]{x^2}}.

Дробные степени здесь понимаются через вещественный кубический корень. При

x<0

знаменатель второй производной отрицателен, поэтому

y''>0

; при

x>0

имеем

y''<0

.

В точке

A(-1,0)

получаем

y''(-1)=2/9>0

: кривая вогнута вверх (выпукла вниз). В точке

B(1,2)

получаем

y''(1)=-2/9<0

: кривая вогнута вниз (выпукла вверх).

В точке

C(0,1)

конечной первой производной нет:

\frac{y(h)-y(0)}h=\frac{\sqrt[3]h}{h}=\frac1{|h|^{2/3}}\to+\infty.

Касательная здесь вертикальна,

x=0

: обратное отношение

h/\sqrt[3]h=|h|^{2/3}\to0

. Второй производной в обычном смысле в этой точке нет; присваивать ей значение бесконечности нельзя.

При переходе через

C

направление вогнутости меняется. Значит,

C(0,1)

— точка перегиба с вертикальной касательной. Это также видно из записи

x=(y-1)^3

: по разные стороны от

y=1

кривая лежит по разные стороны касательной

x=0