Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба

Демидович — задача 1298

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Исследовать направление вогнутости кривой

y=1+\sqrt[3]{x}

в точках

A(-1,0)

B(1,2)

C(0,0)

Решение

Идея

Направление вогнутости графика функции

y = f(x)

определяется знаком её второй производной:
если

y'' > 0

, то кривая вогнута вверх (выпукла вниз);
если

y'' < 0

, то кривая вогнута вниз (выпукла вверх).

Найдём первую и вторую производные заданной функции:

y' = \left(1 + x^{\frac{1}{3}}\right)' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}

y'' = \left(\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\right)' = -\frac{2}{9}x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{9x\sqrt[3]{x^2}}

Исследуем значение и знак второй производной в заданных точках:

В точке

A(-1, 0)

абсцисса

x = -1

. Подставим это значение во вторую производную:

y''(-1) = -\frac{2}{9(-1)\sqrt[3]{(-1)^2}} = \frac{2}{9}

Поскольку

y''(-1) > 0

, в точке

A

кривая вогнута вверх (выпукла вниз).

В точке

B(1, 2)

абсцисса

x = 1

. Вычислим вторую производную:

y''(1) = -\frac{2}{9 \cdot 1 \cdot \sqrt[3]{1^2}} = -\frac{2}{9}

Поскольку

y''(1) < 0

, в точке

B

кривая вогнута вниз (выпукла вверх).

В точке

C(0, 0)

абсцисса

x = 0

. В этой точке знаменатель второй производной обращается в нуль, следовательно,

y''(0)

не существует (равна бесконечности).
Исследуем знак второй производной в проколотой окрестности точки

x = 0

:
При

x < 0

знаменатель

x\sqrt[3]{x^2}

отрицателен, поэтому

y'' > 0

(кривая вогнута вверх).
При

x > 0

знаменатель

x\sqrt[3]{x^2}

положителен, поэтому

y'' < 0

(кривая вогнута вниз).

Проверка

Так как при переходе через точку

x = 0

вторая производная меняет свой знак с плюса на минус, в самой точке

C(0, 0)

направление вогнутости не определено — эта точка является точкой перегиба.