Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба

Демидович — задача 1315

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1315

Доказать, что ограниченная выпуклая функция на открытом интервале непрерывна в каждой его точке и имеет конечные левую и правую производные.

Доказательство

Пусть ff выпукла снизу на открытом интервале. Для u<v<wu<v<w запишемv=w−vw−uu+v−uw−uw.v=\frac{w-v}{w-u}u+\frac{v-u}{w-u}w.По определению выпуклости(w−u)f(v)≤(w−v)f(u)+(v−u)f(w).(w-u)f(v)\le(w-v)f(u)+(v-u)f(w).Переносим слагаемые сначала относительно f(u)f(u), затем относительно f(w)f(w) и делим на положительные разности. Получаем правило трёх секущих:f(v)−f(u)v−u≤f(w)−f(u)w−u≤f(w)−f(v)w−v.\frac{f(v)-f(u)}{v-u}\le\frac{f(w)-f(u)}{w-u}\le\frac{f(w)-f(v)}{w-v}.Оно верно и для строгой выпуклости, поскольку строгое неравенство влечёт нестрогое.

Зафиксируем внутреннюю точку x0x_0 и выберем точки L<x0<RL<x_0<R внутри того же интервала. При x0<x<Rx_0<x<R отношениеq+(x)=f(x)−f(x0)x−x0q_+(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}не убывает с ростом xx (применим правило к x0<x<yx_0<x<y). Кроме того,f(x0)−f(L)x0−L≤q+(x)≤f(R)−f(x0)R−x0.\frac{f(x_0)-f(L)}{x_0-L}\le q_+(x)\le\frac{f(R)-f(x_0)}{R-x_0}.Обе границы — конечные числа. Монотонная ограниченная функция имеет конечный предел на конце интервала; значит, существует конечная правая производная f+′(x0)f'_+(x_0).

При L<x<x0L<x<x_0 положим q−(x)=(f(x0)−f(x))/(x0−x)q_-(x)=(f(x_0)-f(x))/(x_0-x). Правило секущих для x<y<x0x<y<x_0 даёт q−(x)≤q−(y)q_-(x)\le q_-(y). Для этих отношений действуют те же конечные границы слева и справа, что и выше. Поэтому существует конечный предел q−(x)q_-(x) при x→x0−x\to x_0-, равный f−′(x0)f'_-(x_0).

Осталось доказать непрерывность. При x>x0x>x_0 имеем f(x)−f(x0)=(x−x0)q+(x)→0f(x)-f(x_0)=(x-x_0)q_+(x)\to0. При x<x0x<x_0 имеем f(x)−f(x0)=−(x0−x)q−(x)→0f(x)-f(x_0)=-(x_0-x)q_-(x)\to0. Таким образом, оба односторонних предела равны f(x0)f(x_0), и ff непрерывна в x0x_0.

Точка выбрана произвольно. Для выпуклости сверху применим доказательство к −f-f: непрерывность сохраняется при смене знака, а односторонние производные также меняют знак. Утверждение доказано. Доказательство использует только конечность значений в выбранных точках; глобальная ограниченность, данная в условии, даже не требуется.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1315 — решение | Высшая математика — Профиматика