Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба

Демидович — задача 1315

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1315

Доказать, что ограниченная выпуклая функция всюду непрерывна и имеет односторонние левую и правую производные.

Доказательство

Идея

Пусть функция f(x)f(x) определена, ограничена и выпукла (для определённости — выпукла снизу) на некотором интервале. Возьмём произвольную внутреннюю точку x0x_0 из этого интервала.
По свойству выпуклой функции, угловой коэффициент секущей монотонно возрастает при смещении точек вправо. Для любых точек x1<x0<x2x_1 < x_0 < x_2 выполняется неравенство:f(x0)−f(x1)x0−x1≤f(x2)−f(x0)x2−x0\frac{f(x_0)-f(x_1)}{x_0-x_1} \le \frac{f(x_2)-f(x_0)}{x_2-x_0}Рассмотрим функцию ϕ(x)=f(x)−f(x0)x−x0\phi(x) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} при x>x0x > x_0. Из свойства выпуклости следует, что ϕ(x)\phi(x) монотонно не убывает с ростом xx. Кроме того, она ограничена снизу значением f(x0)−f(x1)x0−x1\frac{f(x_0)-f(x_1)}{x_0-x_1} для любого фиксированного x1<x0x_1 < x_0. Ограниченность самой функции f(x)f(x) гарантирует конечность этой нижней грани.

Проверка

В силу монотонности и ограниченности снизу, функция ϕ(x)\phi(x) имеет конечный предел справа при x→x0+0x \to x_0+0. Этот предел по определению является конечной правой производной:lim⁡x→x0+0f(x)−f(x0)x−x0=f+′(x0)\lim_{x \to x_0+0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'_+(x_0)Аналогичным образом рассмотрим функцию ψ(x)=f(x0)−f(x)x0−x\psi(x) = \frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x} при x<x0x < x_0. При стремлении xx к x0x_0 слева (то есть при возрастании xx) функция ψ(x)\psi(x) не убывает и ограничена сверху угловым коэффициентом любой правой секущей ϕ(x2)\phi(x_2). Следовательно, существует конечный предел слева — левая производная:lim⁡x→x0−0f(x0)−f(x)x0−x=f−′(x0)\lim_{x \to x_0-0} \frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x} = f'_-(x_0)Докажем непрерывность f(x)f(x) в точке x0x_0, используя существование конечных односторонних производных. Найдём односторонние пределы приращения функции:lim⁡x→x0+0(f(x)−f(x0))=lim⁡x→x0+0(f(x)−f(x0)x−x0⋅(x−x0))=f+′(x0)⋅0=0\lim_{x \to x_0+0} (f(x)-f(x_0)) = \lim_{x \to x_0+0} \left( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \cdot (x-x_0) \right) = f'_+(x_0) \cdot 0 = 0lim⁡x→x0−0(f(x)−f(x0))=lim⁡x→x0−0(f(x0)−f(x)x0−x⋅(x0−x))=f−′(x0)⋅0=0\lim_{x \to x_0-0} (f(x)-f(x_0)) = \lim_{x \to x_0-0} \left( \frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x} \cdot (x_0-x) \right) = f'_-(x_0) \cdot 0 = 0Оба односторонних предела равны нулю, следовательно, lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0). Функция непрерывна в произвольной точке x0x_0. Что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1315 — решение