Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба

Демидович — задача 1301

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти промежутки вогнутости определённого знака и точки перегиба графика функции:

y=x+x^{\frac53}

Решение

Идея

Область определения функции:

D(y) = (-\infty, +\infty)

Функция непрерывна на всей числовой оси. Найдём первую производную:

y' = 1 + \frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} = 1 + \frac{5}{3}\sqrt[3]{x^2}

Первая производная определена и непрерывна при всех

x \in \mathbb{R}

, в частности,

y'(0) = 1

1
Найдём вторую производную: $y'' = \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} = \frac{10}{9\sqrt[3]{x}}$ Вторая производная определена при всех $x \ne 0$ , а в точке $x = 0$ она обращается в бесконечность (не существует). Исследуем знак $y''$ :

— При $x \in (-\infty, 0)$ имеем $\sqrt[3]{x} < 0 \implies y'' < 0$ , следовательно, график функции вогнут вниз (выпукл вверх).

— При $x \in (0, +\infty)$ имеем $\sqrt[3]{x} > 0 \implies y'' > 0$ , следовательно, график функции вогнут вверх (выпукл вниз).
2
При переходе через точку $x = 0$ вторая производная меняет знак, при этом график имеет непрерывную невертикальную касательную ( $y'(0) = 1$ ). Значит, точка $x = 0$ является абсциссой точки перегиба.

Проверка

Ордината точки перегиба:

y(0) = 0 + 0^{\frac{5}{3}} = 0

Таким образом:

\text{Вогнутость вниз: } x \in (-\infty, 0)

\text{Вогнутость вверх: } x \in (0, +\infty)

\text{Точка перегиба: } (0, 0)