Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба

Демидович — задача 1301

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти промежутки вогнутости определённого знака и точки перегиба графика функции:

y=x+x^{\frac53}

Решение

Область определения функции:

D(y) = (-\infty, +\infty)

Функция непрерывна на всей числовой оси. Найдём первую производную:

y' = 1 + \frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} = 1 + \frac{5}{3}\sqrt[3]{x^2}

Первая производная определена и непрерывна при всех

x \in \mathbb{R}

, в частности,

y'(0) = 1

Найдём вторую производную:

y'' = \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} = \frac{10}{9\sqrt[3]{x}}

Вторая производная определена при всех

x \ne 0

, а при

x=0

её следует проверять по определению. Разностное отношение для первой производной равно

\frac{y'(h)-y'(0)}h=\frac53\frac{|h|^{2/3}}h.

Справа оно стремится к

+\infty

, слева — к

-\infty

, поэтому второй производной в нуле нет. Исследуем знак

y''

:

— При

x \in (-\infty, 0)

имеем

\sqrt[3]{x} < 0 \implies y'' < 0

, следовательно, график функции вогнут вниз (выпукл вверх).

— При

x \in (0, +\infty)

имеем

\sqrt[3]{x} > 0 \implies y'' > 0

, следовательно, график функции вогнут вверх (выпукл вниз).

При переходе через точку

x = 0

вторая производная меняет знак, при этом существует касательная

y=x

(

y'(0) = 1

). Значит, точка

x = 0

является абсциссой точки перегиба.

Проверка

Ордината точки перегиба:

y(0) = 0 + 0^{\frac{5}{3}} = 0

Таким образом:

\text{Вогнутость вниз: } x \in (-\infty, 0)

\text{Вогнутость вверх: } x \in (0, +\infty)

\text{Точка перегиба: } (0, 0)