Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба

Демидович — задача 1317

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1317

Доказать, что если функция f(x)f(x) дважды дифференцируема в бесконечном интервале (x0,+∞)(x_0,+\infty) иlim⁡x→x0+0f(x)=0,lim⁡x→+∞f(x)=0,\lim_{x\to x_0+0}f(x)=0, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0,то в интервале (x0,+∞)(x_0,+\infty) имеется по меньшей мере одна точка ξ\xi такая, что f′′(ξ)=0f''(\xi)=0.

Доказательство

По результату №1237 равенство пределов ff на концах интервала даёт точку c>x0c>x_0, где f′(c)=0f'(c)=0. Функция f′f' непрерывна, поскольку ff дважды дифференцируема.

Если f′(x)=0f'(x)=0 при всех x>cx>c, то и f′′(x)=0f''(x)=0 там; нужная точка найдена. Иначе выберем t>ct>c с p=f′(t)≠0p=f'(t)\ne0.

Найдём правее tt точку, в которой производная по модулю меньше ∣p∣/2|p|/2. Для больших натуральных NN теорема Лагранжа на [N,2N][N,2N] даёт dN∈(N,2N)d_N\in(N,2N) иf′(dN)=f(2N)−f(N)N⟶0,f'(d_N)=\frac{f(2N)-f(N)}N\longrightarrow0,так как оба значения числителя стремятся к нулю. Выбираем N>tN>t так, чтобы ∣f′(dN)∣<∣p∣/2|f'(d_N)|<|p|/2.

Значение p/2p/2 лежит строго между f′(c)=0f'(c)=0 и f′(t)=pf'(t)=p, а также между f′(t)=pf'(t)=p и f′(dN)f'(d_N) — при любом знаке pp. Поэтому непрерывность f′f' даёт две точки α∈(c,t)\alpha\in(c,t) и β∈(t,dN)\beta\in(t,d_N) с f′(α)=f′(β)=p/2f'(\alpha)=f'(\beta)=p/2.

Применим теорему Ролля к f′f' на [α,β][\alpha,\beta]. Она непрерывна на отрезке и дифференцируема внутри, поэтому существует ξ∈(α,β)⊂(x0,+∞)\xi\in(\alpha,\beta)\subset(x_0,+\infty), где f′′(ξ)=0f''(\xi)=0.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1317 — решение | Высшая математика — Профиматика