Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба

Демидович — задача 1304

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти промежутки вогнутости определённого знака и точки перегиба графика функции:

y=e^{-x^2}

Решение

Идея

Область определения:

D(y) = (-\infty, +\infty)

Функция чётная, непрерывная и бесконечно дифференцируемая на всей числовой оси.

Найдём первую производную по правилу дифференцирования сложной функции:

y' = e^{-x^2} \cdot (-x^2)' = -2x e^{-x^2}

Найдём вторую производную:

y'' = (-2x)' e^{-x^2} + (-2x) (e^{-x^2})' = -2e^{-x^2} + (-2x)(-2x e^{-x^2}) = 2(2x^2 - 1)e^{-x^2}

Так как

e^{-x^2} > 0

при всех

x \in \mathbb{R}

, приравняем

y''

к нулю:

y'' = 0 \iff 2x^2 - 1 = 0 \iff x^2 = \frac{1}{2} \iff x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}

Исследуем знаки

y''

:

— При

|x| > \frac{1}{\sqrt{2}}

, то есть при

x \in \left(-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cup \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, +\infty\right)

, выражение

2x^2 - 1 > 0

, откуда

y'' > 0

. График функции вогнут вверх (выпукл вниз).

— При

|x| < \frac{1}{\sqrt{2}}

, то есть при

x \in \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)

, выражение

2x^2 - 1 < 0

, откуда

y'' < 0

. График функции вогнут вниз (выпукл вверх).

Проверка

В точках

x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}

вторая производная меняет знак. Вычислим значения функции в этих точках:

y\left(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = e^{-\left(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}

Таким образом:

\text{Вогнутость вверх: } |x| > \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \text{т. е. } x \in \left(-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cup \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, +\infty\right)

\text{Вогнутость вниз: } |x| < \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \text{т. е. } x \in \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)

\text{Точки перегиба: } \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{e}}\right), \quad \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{e}}\right)