Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба

Демидович — задача 1313

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Показать, что функции

x^n\quad(n>1),\qquad e^x,\qquad x\ln x

выпуклы снизу на интервале

(0,+\infty)

, а функции

x^n\quad(0<n<1),\qquad \ln x

выпуклы сверху на интервале

(0,+\infty)

Опирается на задачу 1312

Доказательство

Идея

На основании утверждений, доказанных в задаче 1312, достаточно найти вторые производные заданных функций и определить их знаки на интервале

(0, +\infty)

1
Функция $f(x) = x^n$ при $n > 1$ : $f'(x) = nx^{n-1}, \qquad f''(x) = n(n-1)x^{n-2}$ Поскольку $x > 0$ и $n > 1$ (что означает $n-1 > 0$ ), имеем $f''(x) > 0$ . Функция выпукла снизу.
2
Функция $f(x) = e^x$ : $f'(x) = e^x, \qquad f''(x) = e^x$ Показательная функция положительна при всех $x$ , $f''(x) > 0$ . Функция выпукла снизу.
3
Функция $f(x) = x\ln x$ : $f'(x) = \ln x + 1, \qquad f''(x) = \frac{1}{x}$ При $x > 0$ имеем $f''(x) > 0$ . Функция выпукла снизу.
4
Функция $f(x) = x^n$ при $0 < n < 1$ : $f'(x) = nx^{n-1}, \qquad f''(x) = n(n-1)x^{n-2}$ Поскольку $x > 0$ , но $0 < n < 1$ , скобка $(n-1) < 0$ . Значит, $f''(x) < 0$ . Функция выпукла сверху.
5
Функция $f(x) = \ln x$ : $f'(x) = \frac{1}{x}, \qquad f''(x) = -\frac{1}{x^2}$ Для любого $x > 0$ имеем $f''(x) < 0$ . Функция выпукла сверху.

Что и требовалось доказать