Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба

Демидович — задача 1313

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1313

Показать, что функцииxn(n>1),ex,xln⁡xx^n\quad(n>1),\qquad e^x,\qquad x\ln xвыпуклы снизу на интервале (0,+∞)(0,+\infty), а функцииxn(0<n<1),ln⁡xx^n\quad(0<n<1),\qquad \ln xвыпуклы сверху на интервале (0,+∞)(0,+\infty).

Опирается на

Доказательство

На основании утверждений, доказанных в задаче , достаточно найти вторые производные заданных функций и определить их знаки на интервале (0,+∞)(0, +\infty).
Функция f(x)=xnf(x) = x^n при n>1n > 1:f′(x)=nxn−1,f′′(x)=n(n−1)xn−2f'(x) = nx^{n-1}, \qquad f''(x) = n(n-1)x^{n-2}Поскольку x>0x > 0 и n>1n > 1 (что означает n−1>0n-1 > 0), имеем f′′(x)>0f''(x) > 0. Функция выпукла снизу.
Функция f(x)=exf(x) = e^x:f′(x)=ex,f′′(x)=exf'(x) = e^x, \qquad f''(x) = e^xПоказательная функция положительна при всех xx, f′′(x)>0f''(x) > 0. Функция выпукла снизу.
Функция f(x)=xln⁡xf(x) = x\ln x:f′(x)=ln⁡x+1,f′′(x)=1xf'(x) = \ln x + 1, \qquad f''(x) = \frac{1}{x}При x>0x > 0 имеем f′′(x)>0f''(x) > 0. Функция выпукла снизу.
Функция f(x)=xnf(x) = x^n при 0<n<10 < n < 1:f′(x)=nxn−1,f′′(x)=n(n−1)xn−2f'(x) = nx^{n-1}, \qquad f''(x) = n(n-1)x^{n-2}Поскольку x>0x > 0, но 0<n<10 < n < 1, скобка (n−1)<0(n-1) < 0. Значит, f′′(x)<0f''(x) < 0. Функция выпукла сверху.
Функция f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x:f′(x)=1x,f′′(x)=−1x2f'(x) = \frac{1}{x}, \qquad f''(x) = -\frac{1}{x^2}Для любого x>0x > 0 имеем f′′(x)<0f''(x) < 0. Функция выпукла сверху.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1313 — решение | Высшая математика — Профиматика