Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба

Демидович — задача 1310

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1310

Исследовать направление вогнутости циклоиды

x=a(t-\sin t), \qquad y=a(1-\cos t), \qquad a>0

ВыводПри

t \ne 2\pi k

(

k \in \mathbb{Z}

) график вогнут вниз (выпукл вверх).

Решение

Направление вогнутости кривой, заданной параметрически, определяется знаком её второй производной

y_{xx}''

.
Найдём первую производную

y_x'

x_t' = a(1 - \cos t), \qquad y_t' = a\sin t

y_x' = \frac{y_t'}{x_t'} = \frac{a\sin t}{a(1 - \cos t)} = \frac{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}{2\sin^2\frac{t}{2}} = \operatorname{ctg}\frac{t}{2}

Найдём вторую производную

y_{xx}''

, используя формулу

y_{xx}'' = \frac{(y_x')_t'}{x_t'}

(y_x')_t' = \left(\operatorname{ctg}\frac{t}{2}\right)' = -\frac{1}{2\sin^2\frac{t}{2}}

y_{xx}'' = \frac{-\frac{1}{2\sin^2\frac{t}{2}}}{a(1 - \cos t)} = \frac{-\frac{1}{2\sin^2\frac{t}{2}}}{a \left(2\sin^2\frac{t}{2}\right)} = -\frac{1}{4a\sin^4\frac{t}{2}}

Исследуем знак второй производной. Поскольку

a > 0

\sin^4\frac{t}{2} > 0

для всех

t \ne 2\pi k

(

k \in \mathbb{Z}

), получаем:

y_{xx}'' = -\frac{1}{4a\sin^4\frac{t}{2}} < 0 \quad \text{при } t \ne 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}

Точки

t = 2\pi k

соответствуют точкам возврата циклоиды (в них производная не существует). На всех интервалах между точками возврата вторая производная строго меньше нуля.

Проверка

Каждая дуга

2\pi k<t<2\pi(k+1)

соответствует

2\pi ka<x<2\pi(k+1)a

, поскольку

x_t'>0

внутри дуги. Именно на каждом таком интервале график вогнут вниз. В точках возврата

(2\pi ka,0)

конечной первой производной нет; при переходе через них направление вогнутости соседних дуг не меняется, поэтому точек перегиба здесь нет.