Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба

Демидович — задача 1310

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1310

Исследовать направление вогнутости циклоидыx=a(t−sin⁡t),y=a(1−cos⁡t),a>0x=a(t-\sin t), \qquad y=a(1-\cos t), \qquad a>0
ВыводПри t≠2πkt \ne 2\pi k (k∈Zk \in \mathbb{Z}) график вогнут вниз (выпукл вверх).

Решение

Идея

Направление вогнутости кривой, заданной параметрически, определяется знаком её второй производной yxx′′y_{xx}''.
Найдём первую производную yx′y_x':
xt′=a(1−cos⁡t),yt′=asin⁡tx_t' = a(1 - \cos t), \qquad y_t' = a\sin tyx′=yt′xt′=asin⁡ta(1−cos⁡t)=2sin⁡t2cos⁡t22sin⁡2t2=ctg⁡t2y_x' = \frac{y_t'}{x_t'} = \frac{a\sin t}{a(1 - \cos t)} = \frac{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}{2\sin^2\frac{t}{2}} = \operatorname{ctg}\frac{t}{2}Найдём вторую производную yxx′′y_{xx}'', используя формулу yxx′′=(yx′)t′xt′y_{xx}'' = \frac{(y_x')_t'}{x_t'}:(yx′)t′=(ctg⁡t2)′=−12sin⁡2t2(y_x')_t' = \left(\operatorname{ctg}\frac{t}{2}\right)' = -\frac{1}{2\sin^2\frac{t}{2}}yxx′′=−12sin⁡2t2a(1−cos⁡t)=−12sin⁡2t2a(2sin⁡2t2)=−14asin⁡4t2y_{xx}'' = \frac{-\frac{1}{2\sin^2\frac{t}{2}}}{a(1 - \cos t)} = \frac{-\frac{1}{2\sin^2\frac{t}{2}}}{a \left(2\sin^2\frac{t}{2}\right)} = -\frac{1}{4a\sin^4\frac{t}{2}}Исследуем знак второй производной. Поскольку a>0a > 0 и sin⁡4t2>0\sin^4\frac{t}{2} > 0 для всех t≠2πkt \ne 2\pi k (k∈Zk \in \mathbb{Z}), получаем:yxx′′=−14asin⁡4t2<0при t≠2πk,  k∈Zy_{xx}'' = -\frac{1}{4a\sin^4\frac{t}{2}} < 0 \quad \text{при } t \ne 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}Точки t=2πkt = 2\pi k соответствуют точкам возврата циклоиды (в них производная не существует). На всех интервалах между точками возврата вторая производная строго меньше нуля.
Демидович № 1310 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика