Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба

Демидович — задача 1307

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти промежутки вогнутости определённого знака и точки перегиба графика функции:

Задача 1307

y=x^x, \qquad x>0

Ответ:Вогнутость вверх (выпуклость вниз):

x \in (0, +\infty)

.
Точек перегиба нет.

Решение

Идея

Функция определена для всех

x > 0

. Перепишем функцию в показательном виде, используя основное логарифмическое тождество:

y = e^{\ln(x^x)} = e^{x \ln x}

Найдём первую производную:

y' = e^{x \ln x} \cdot (x \ln x)' = x^x \left( 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} \right) = x^x(\ln x + 1)

Найдём вторую производную:

y'' = (x^x)'(\ln x + 1) + x^x(\ln x + 1)'

Подставим

(x^x)' = x^x(\ln x + 1)

y'' = x^x(\ln x + 1)^2 + x^x \cdot \frac{1}{x} = x^x \left( (\ln x + 1)^2 + \frac{1}{x} \right)

Определим знак второй производной при

x > 0

—

x^x > 0

при любых

x > 0

.

—

(\ln x + 1)^2 \ge 0

при любых

x > 0

.

—

\frac{1}{x} > 0

при

x > 0

Проверка

Следовательно, выражение в скобках строго положительно, и вся вторая производная строго больше нуля:

y'' = x^x \left( (\ln x + 1)^2 + \frac{1}{x} \right) > 0 \quad \forall x \in (0, +\infty)

Поскольку вторая производная положительна на всей области определения, график функции вогнут вверх (выпукл вниз). Вторая производная не меняет знак, значит, точек перегиба нет.