Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба

Демидович — задача 1302

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти промежутки вогнутости определённого знака и точки перегиба графика функции:

y=\sqrt{1+x^2}

Решение

Идея

Подкоренное выражение

1 + x^2 \ge 1 > 0

при любых

x \in \mathbb{R}

, следовательно:

D(y) = (-\infty, +\infty)

Функция дифференцируема необходимое число раз на всей числовой прямой.

Найдём первую производную функции:

y' = \frac{(1+x^2)'}{2\sqrt{1+x^2}} = \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}

Найдём вторую производную:

y'' = \frac{1 \cdot \sqrt{1+x^2} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{\frac{(1+x^2) - x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{1}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}

Поскольку

(1+x^2)^{\frac{3}{2}} > 0

для любого вещественного

x

, то:

y'' > 0 \quad \forall x \in (-\infty, +\infty)

Следовательно:

— График функции вогнут вверх (выпукл вниз) на всём интервале

(-\infty, +\infty)

.

— Вторая производная нигде не обращается в нуль и не меняет знак, поэтому точек перегиба нет.

Проверка

Итог:

\text{Вогнутость вверх: } x \in (-\infty, +\infty)

\text{Точек перегиба нет.}