Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба

Демидович — задача 1308

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1308

Показать, что кривая

y=\frac{x+1}{x^2+1}

имеет три точки перегиба, лежащие на одной прямой.

Построить график этой функции.

ПостроениеКривая имеет три точки перегиба

A\left(-2-\sqrt3,\frac{1-\sqrt3}{4}\right),\qquadB\left(-2+\sqrt3,\frac{1+\sqrt3}{4}\right),\qquadC(1,1)

Все они лежат на прямой

y=\frac{x+3}{4}

Построение

Идея

Область определения функции — вся числовая прямая, поскольку

x^2+1>0

при любом

x\in\mathbb R

1
Найдём первую производную: $\begin{aligned}y'&=\frac{x^2+1-2x(x+1)}{(x^2+1)^2}=\frac{1-2x-x^2}{(x^2+1)^2}\end{aligned}$ Вторая производная равна $\begin{aligned}y''&=\frac{(-2-2x)(x^2+1)-4x(1-2x-x^2)}{(x^2+1)^3}=\frac{2(x^3+3x^2-3x-1)}{(x^2+1)^3}\end{aligned}$ Обозначим кубический многочлен в числителе через $P(x)=x^3+3x^2-3x-1$ Поскольку $P(1)=1+3-3-1=0$ число $1$ является его корнем. Деление на $x-1$ и последующее
разложение квадратного трёхчлена дают $\begin{aligned}P(x)&=(x-1)(x^2+4x+1)=\\&=(x-1)\bigl((x+2)^2-3\bigr)=\\&=(x-1)(x+2-\sqrt3)(x+2+\sqrt3)\end{aligned}$ Поэтому корни числителя расположены в порядке $x_1=-2-\sqrt3<x_2=-2+\sqrt3<x_3=1$
2
Знаменатель второй производной положителен на всей числовой прямой,
а каждый найденный корень числителя прост. Следовательно, знак
$y''$ меняется при переходе через каждую из трёх точек. Точнее, $y''<0\quad\text{при}\quadx\in(-\infty,x_1)\cup(x_2,x_3)$ и $y''>0\quad\text{при}\quadx\in(x_1,x_2)\cup(x_3,+\infty)$ Значит, все три найденные абсциссы действительно задают точки
перегиба.
3
Теперь одновременно найдём ординаты и докажем коллинеарность. Тот же
многочлен можно представить в виде $P(x)=(x+3)(x^2+1)-4(x+1)$ В каждой найденной абсциссе $x_i$ выполнено $P(x_i)=0$ , поэтому $(x_i+3)(x_i^2+1)=4(x_i+1)$ Так как $x_i^2+1>0$ , делим на $4(x_i^2+1)$ и получаем $y(x_i)=\frac{x_i+1}{x_i^2+1}=\frac{x_i+3}{4}$ Следовательно, все три точки перегиба лежат на прямой $y=\frac{x+3}{4}$ Подставляя в эту формулу найденные абсциссы, получаем точки $A\left(-2-\sqrt3,\frac{1-\sqrt3}{4}\right),\qquadB\left(-2+\sqrt3,\frac{1+\sqrt3}{4}\right),\qquadC(1,1)$
4
Для точного построения графика найдём остальные характерные элементы.
Из равенства $y'=\frac{2-(x+1)^2}{(x^2+1)^2}$ следует, что критические точки имеют абсциссы $x=-1-\sqrt2,\qquadx=-1+\sqrt2$ Функция убывает на интервалах $(-\infty,-1-\sqrt2),\qquad(-1+\sqrt2,+\infty)$ и возрастает на интервале $(-1-\sqrt2,-1+\sqrt2)$ Ординаты критических точек вычисляются одной подстановкой: $y(-1\pm\sqrt2)=\frac{\pm\sqrt2}{4\mp2\sqrt2}=\frac{1\pm\sqrt2}{2}$ С учётом найденных интервалов монотонности в точке $\left(-1-\sqrt2,\frac{1-\sqrt2}{2}\right)$ достигается локальный минимум, а в точке $\left(-1+\sqrt2,\frac{1+\sqrt2}{2}\right)$ локальный максимум.

График пересекает ось $Ox$ в точке $(-1,0)$ , а ось $Oy$ в
точке $(0,1)$ . Кроме того, $\lim_{x\to-\infty}y=0,\qquad\lim_{x\to+\infty}y=0$ Следовательно, прямая $y=0$ , совпадающая с осью $Ox$ , является
горизонтальной асимптотой.

График пересекает прямую $y=0$ при $x=-1$ , но это не мешает ей
быть асимптотой: для неё важно лишь поведение функции при
$x\to\pm\infty$ .

При $x<-1$ график лежит ниже оси $Ox$ и приближается к ней снизу;
при $x>-1$ он лежит выше оси $Ox$ и приближается к ней сверху.
5
Построение графика
На рисунке синим показан график функции, а розовой
пунктирной прямой — прямая, содержащая все три точки перегиба.
Синие стрелки у границ окна показывают продолжение обеих бесконечных
ветвей к горизонтальной асимптоте $y=0$ . $график к задаче Демидовича № 1308$

Проверка

Ответ. Кривая имеет три точки перегиба

A\left(-2-\sqrt3,\frac{1-\sqrt3}{4}\right),\qquadB\left(-2+\sqrt3,\frac{1+\sqrt3}{4}\right),\qquadC(1,1)

Все они лежат на прямой

y=\frac{x+3}{4}