Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба

Демидович — задача 1309

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

При каком выборе параметра

h

«кривая вероятности»

y=\frac h{\sqrt\pi}e^{-h^2x^2}, \qquad h>0

имеет точки перегиба

x=\pm\sigma

Ответ:

h = \frac{1}{\sigma\sqrt{2}}

Решение

Идея

Найдём первую и вторую производные данной функции.
Первая производная:

Проверка

y' = \frac{h}{\sqrt{\pi}} e^{-h^2x^2} \cdot (-2h^2x) = -\frac{2h^3}{\sqrt{\pi}} x e^{-h^2x^2}

Вторая производная:

y'' = -\frac{2h^3}{\sqrt{\pi}} \left( 1 \cdot e^{-h^2x^2} + x \cdot e^{-h^2x^2}(-2h^2x) \right) = -\frac{2h^3}{\sqrt{\pi}} e^{-h^2x^2} \left( 1 - 2h^2x^2 \right)

Точки перегиба возникают там, где вторая производная обращается в нуль и меняет знак. Так как

\frac{2h^3}{\sqrt{\pi}} e^{-h^2x^2} \ne 0

при любых

x

, приравняем к нулю скобку:

1 - 2h^2x^2 = 0 \iff x^2 = \frac{1}{2h^2} \iff x = \pm \frac{1}{h\sqrt{2}}

При переходе через эти точки

y''

действительно меняет знак (так как это корни кратности 1 для многочлена

1-2h^2x^2

). Следовательно, абсциссы точек перегиба равны

x = \pm \frac{1}{h\sqrt{2}}

.
По условию задачи точки перегиба должны находиться при

x = \pm\sigma

. Приравняем полученные значения:

\frac{1}{h\sqrt{2}} = \sigma \implies h = \frac{1}{\sigma\sqrt{2}}