Демидович — задача 1312

1. 1
   Рассмотрим разность между правой и левой частями доказываемого неравенства:$$\Delta = \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2) - f(x_0)$$Так как $\lambda_1 + \lambda_2 = 1$, мы можем представить $f(x_0)$ как $(\lambda_1 + \lambda_2)f(x_0)$:$$\Delta = \lambda_1 (f(x_1) - f(x_0)) + \lambda_2 (f(x_2) - f(x_0))$$К разностям в скобках применим теорему Лагранжа о конечных приращениях. На отрезках $[x_1, x_0]$ и $[x_0, x_2]$ функция удовлетворяет всем условиям теоремы. Существуют такие точки $\xi_1 \in (x_1, x_0)$ и $\xi_2 \in (x_0, x_2)$, что:$$f(x_1) - f(x_0) = f'(\xi_1)(x_1 - x_0)$$$$f(x_2) - f(x_0) = f'(\xi_2)(x_2 - x_0)$$При этом из соотношения $x_0 = \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2$ следуют равенства:$$x_1 - x_0 = x_1 - (\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) = (1 - \lambda_1)x_1 - \lambda_2 x_2 = \lambda_2 x_1 - \lambda_2 x_2 = -\lambda_2(x_2 - x_1)$$$$x_2 - x_0 = x_2 - (\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) = (1 - \lambda_2)x_2 - \lambda_1 x_1 = \lambda_1 x_2 - \lambda_1 x_1 = \lambda_1(x_2 - x_1)$$Подставим это обратно в выражение для $\Delta$:$$\Delta = \lambda_1 f'(\xi_1) \cdot (-\lambda_2(x_2 - x_1)) + \lambda_2 f'(\xi_2) \cdot (\lambda_1(x_2 - x_1))$$Вынесем общий множитель:$$\Delta = \lambda_1 \lambda_2 (x_2 - x_1) [f'(\xi_2) - f'(\xi_1)]$$Из выбора точек следует, что $x_1 < \xi_1 < x_0 < \xi_2 < x_2$, а значит, $\xi_1 < \xi_2$.
2. 2
   Если $f''(x) > 0$ на $(a,b)$, то первая производная $f'(x)$ строго возрастает на этом интервале.
   Поскольку $\xi_1 < \xi_2$, имеем $f'(\xi_2) - f'(\xi_1) > 0$. Учитывая, что $\lambda_1 > 0$, $\lambda_2 > 0$ и $x_2 - x_1 > 0$, получаем:$$\Delta > 0 \implies \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2) > f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2)$$Следовательно, функция выпукла снизу (вогнута вверх). Что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать