Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба

Демидович — задача 1300

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти промежутки вогнутости определённого знака и точки перегиба графика функции:

y=\frac{a^3}{a^2+x^2}\qquad (a>0)

Решение

Идея

Так как знаменатель

a^2 + x^2 > 0

при всех

x \in \mathbb{R}

, область определения функции:

D(y) = (-\infty, +\infty)

Функция является чётной и бесконечно дифференцируемой на всей числовой прямой.

Найдём первую производную функции:

y' = \left( a^3 (a^2+x^2)^{-1} \right)' = -a^3(a^2+x^2)^{-2} \cdot 2x = -\frac{2a^3 x}{(a^2+x^2)^2}

Найдём вторую производную:

y'' = -2a^3 \cdot \frac{1 \cdot (a^2+x^2)^2 - x \cdot 2(a^2+x^2) \cdot 2x}{(a^2+x^2)^4}

Сократим числитель и знаменатель на

(a^2+x^2)

y'' = -2a^3 \cdot \frac{(a^2+x^2) - 4x^2}{(a^2+x^2)^3} = \frac{2a^3(3x^2 - a^2)}{(a^2+x^2)^3}

Знаменатель дроби

(a^2+x^2)^3 > 0

при всех

x

. Приравняем вторую производную к нулю:

y'' = 0 \iff 3x^2 - a^2 = 0 \iff x = \pm \frac{a}{\sqrt{3}}

Определим знак

y''

на интервалах знакопостоянства:

— При

|x| > \frac{a}{\sqrt{3}}

, то есть при

x \in \left(-\infty, -\frac{a}{\sqrt{3}}\right) \cup \left(\frac{a}{\sqrt{3}}, +\infty\right)

, имеем

y'' > 0

, поэтому график функции вогнут вверх (выпукл вниз).

— При

|x| < \frac{a}{\sqrt{3}}

, то есть при

x \in \left(-\frac{a}{\sqrt{3}}, \frac{a}{\sqrt{3}}\right)

, имеем

y'' < 0

, поэтому график функции вогнут вниз (выпукл вверх).

В точках

x = \pm \frac{a}{\sqrt{3}}

вторая производная меняет знак. Найдём ординаты этих точек:

y\left(\pm \frac{a}{\sqrt{3}}\right) = \frac{a^3}{a^2 + \frac{a^2}{3}} = \frac{a^3}{\frac{4a^2}{3}} = \frac{3a}{4}

Замечание. Если в числителе исходной функции стоит

a^2

(т. е.

y = \frac{a^2}{a^2+x^2}

), промежутки вогнутости сохраняются прежними, а ордината точек перегиба принимает значение

y = \frac{3}{4}

Проверка

Итог:

\text{Вогнутость вверх: } |x| > \frac{a}{\sqrt{3}}, \quad \text{т. е. } x \in \left(-\infty, -\frac{a}{\sqrt{3}}\right) \cup \left(\frac{a}{\sqrt{3}}, +\infty\right)

\text{Вогнутость вниз: } |x| < \frac{a}{\sqrt{3}}, \quad \text{т. е. } x \in \left(-\frac{a}{\sqrt{3}}, \frac{a}{\sqrt{3}}\right)

\text{Точки перегиба: } \left(-\frac{a}{\sqrt{3}}, \frac{3a}{4}\right), \quad \left(\frac{a}{\sqrt{3}}, \frac{3a}{4}\right)