Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба

Демидович — задача 1306

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти промежутки вогнутости определённого знака и точки перегиба графика функции:

y=x\sin(\ln x), \qquad x>0

Ответ:Вогнутость вверх (выпуклость вниз):

x \in \left( e^{-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k}, e^{\frac{\pi}{4} + 2\pi k} \right), \; k \in \mathbb{Z}

.
Вогнутость вниз (выпуклость вверх):

x \in \left( e^{\frac{\pi}{4} + 2\pi k}, e^{\frac{5\pi}{4} + 2\pi k} \right), \; k \in \mathbb{Z}

.
Точки перегиба:

\left( e^{\frac{\pi}{4} + \pi k}, (-1)^k \frac{e^{\frac{\pi}{4} + \pi k}}{\sqrt{2}} \right), \; k \in \mathbb{Z}

Решение

Идея

Область определения задана в условии:

D(y) = (0, +\infty)

Найдём первую производную функции:

y' = (x)'\sin(\ln x) + x(\sin(\ln x))' = \sin(\ln x) + x \cdot \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x} = \sin(\ln x) + \cos(\ln x)

Найдём вторую производную:

y'' = (\sin(\ln x))' + (\cos(\ln x))' = \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x} - \sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{\cos(\ln x) - \sin(\ln x)}{x}

Так как

x > 0

, знаменатель не обращается в нуль. Приравняем вторую производную к нулю:

y'' = 0 \iff \cos(\ln x) - \sin(\ln x) = 0 \iff \operatorname{tg}(\ln x) = 1

Отсюда получаем:

\ln x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \implies x_k = e^{\frac{\pi}{4} + \pi k}, \quad k \in \mathbb{Z}

Преобразуем числитель второй производной, введя вспомогательный угол:

y'' = \frac{\sqrt{2}\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(\ln x) - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(\ln x) \right)}{x} = \frac{\sqrt{2}\cos\left(\ln x + \frac{\pi}{4}\right)}{x}

Поскольку

x > 0

, знак

y''

полностью определяется знаком косинуса:

— График вогнут вверх (выпукл вниз), если

y'' > 0

\cos\left(\ln x + \frac{\pi}{4}\right) > 0 \iff -\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \ln x + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + 2\pi k

-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < \ln x < \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x \in \left( e^{-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k}, e^{\frac{\pi}{4} + 2\pi k} \right), \quad k \in \mathbb{Z}

— График вогнут вниз (выпукл вверх), если

y'' < 0

\cos\left(\ln x + \frac{\pi}{4}\right) < 0 \iff \frac{\pi}{4} + 2\pi k < \ln x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \implies x \in \left( e^{\frac{\pi}{4} + 2\pi k}, e^{\frac{5\pi}{4} + 2\pi k} \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Проверка

В точках

x_k = e^{\frac{\pi}{4} + \pi k}

вторая производная меняет знак. Ординаты точек перегиба:

y(x_k) = e^{\frac{\pi}{4} + \pi k} \sin\left( \frac{\pi}{4} + \pi k \right) = e^{\frac{\pi}{4} + \pi k} \cdot (-1)^k \frac{\sqrt{2}}{2} = (-1)^k \frac{e^{\frac{\pi}{4} + \pi k}}{\sqrt{2}}