Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба

Демидович — задача 1299

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти промежутки вогнутости определённого знака и точки перегиба графика функции:

y=3x^2-x^3

Решение

Идея

Областью определения функции является вся числовая прямая:

D(y) = (-\infty, +\infty)

Функция непрерывна и дважды дифференцируема на

D(y)

. Найдём первую и вторую производные:

y' = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2

y'' = (6x - 3x^2)' = 6 - 6x = 6(1 - x)

Приравняем вторую производную к нулю для нахождения критических точек второго рода:

y'' = 0 \iff 6(1 - x) = 0 \iff x = 1

Исследуем знак второй производной

y''

на полученных интервалах:

— При

x \in (-\infty, 1)

имеем

y'' > 0

, следовательно, график функции вогнут вверх (выпукл вниз).

— При

x \in (1, +\infty)

имеем

y'' < 0

, следовательно, график функции вогнут вниз (выпукл вверх).

Поскольку в точке

x = 1

вторая производная меняет знак с плюса на минус и существует касательная к графику функции (

y'(1) = 3

), точка

x = 1

является абсциссой точки перегиба.

Проверка

Найдём ординату точки перегиба:

y(1) = 3 \cdot 1^2 - 1^3 = 2

Таким образом:

\text{Вогнутость вверх (выпуклость вниз): } x \in (-\infty, 1)

\text{Вогнутость вниз (выпуклость вверх): } x \in (1, +\infty)

\text{Точка перегиба: } (1, 2)