Раздел I. Введение в анализ — § 9. Равномерная непрерывность функции

Демидович — задача 799

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Исследовать на равномерную непрерывность в заданной области функцию

Задача 799

f(x)=x(1≤x<+∞).f(x)=\sqrt{x}\qquad(1\le x<+\infty).

Решение

Проверка

Для x1,x2≥1x_1,x_2\ge1∣x1−x2∣=∣x1−x2∣x1+x2≤12∣x1−x2∣.|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|
=
\frac{|x_1-x_2|}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}
\le
\frac12|x_1-x_2|.Поэтому для любого ε>0\varepsilon>0 можно взятьδ=2ε.\boxed{\delta=2\varepsilon}.Следовательно,x равномерно непрерывна на [1,+∞).\boxed{\sqrt{x}\text{ равномерно непрерывна на }[1,+\infty)}.
Демидович № 799 — решение | Высшая математика — Профиматика