Демидович — задача 806

1. 1
   Докажем существование правого предела при $x\to a+0$. Возьмем любую последовательность $x_n\in(a,b)$, для которой $x_n\to a+0$.
   
   Поскольку $f$ равномерно непрерывна, для каждого $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$ такое, что$$|x-y|<\delta$$
   \quad\Rightarrow\quad
   |f(x)-f(y)|<\varepsilonдля любых $x,y\in(a,b)$.
   
   Последовательность $x_n$ сходится, поэтому является фундаментальной. Существует $N$ такое, что при $n,m\ge N$ имеем $|x_n-x_m|<\delta$, а значит,$$|f(x_n)-f(x_m)|<\varepsilon.$$Последовательность $f(x_n)$ фундаментальна и поэтому сходится к некоторому конечному числу $A$.
2. 2
   Покажем, что этот предел не зависит от выбора последовательности. Пусть $y_n\to a+0$. Тогда $|x_n-y_n|\to0$, поэтому из равномерной непрерывности$$|f(x_n)-f(y_n)|\to0.$$Если $f(x_n)\to A$, то и $f(y_n)\to A$. По критерию Гейне$$\boxed{\lim_{x\to a+0}f(x)=A}.$$Аналогично существует конечный предел$$\boxed{\lim_{x\to b-0}f(x)=B}.$$
3. 3
   Для бесконечного интервала утверждение неверно. Например, функция $f(x)=x$ равномерно непрерывна на $(0,+\infty)$, однако конечного предела при $x\to+\infty$ не имеет.
   
   Необходимость. Пусть функцию удалось непрерывно продолжить на $[a,b]$. Полученная функция непрерывна на сегменте, поэтому по теореме Кантора равномерно непрерывна на $[a,b]$. Ее ограничение на $(a,b)$ также равномерно непрерывно.
   
   Достаточность. Пусть $f$ равномерно непрерывна на $(a,b)$. По первой части существуют конечные пределы$$A=\lim_{x\to a+0}f(x),$$
   \qquad
   B=\lim_{x\to b-0}f(x).Определим$$F(x)=$$
   \begin{cases}
   A,&x=a,\\
   f(x),&a<x<b,\\
   B,&x=b.
   \end{cases}Внутри $(a,b)$ функция $F$ непрерывна по условию, а равенства пределов на концах дают непрерывность в точках $a$ и $b$.

Что и требовалось доказать