Раздел I. Введение в анализ — § 9. Равномерная непрерывность функции

Демидович — задача 806

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 806

1. Доказать, что если функция f(x)f(x) равномерно непрерывна на конечном интервале (a,b)(a,b), то существуют пределыA=lim⁡x→a+0f(x)иB=lim⁡x→b−0f(x).A=\lim_{x\to a+0}f(x)
\quad\text{и}\quad
B=\lim_{x\to b-0}f(x).Верна ли эта теорема для бесконечного интервала (a,b)(a,b)?

2. Доказать, что для того, чтобы функцию f(x)f(x), определенную и непрерывную на конечном интервале (a,b)(a,b), можно было продолжить непрерывным образом на сегмент [a,b][a,b], необходимо и достаточно, чтобы функция f(x)f(x) была равномерно непрерывна на интервале (a,b)(a,b).

Доказательство

Докажем существование правого предела при x→a+0x\to a+0. Возьмем любую последовательность xn∈(a,b)x_n\in(a,b), для которой xn→a+0x_n\to a+0.

Поскольку ff равномерно непрерывна, для каждого ε>0\varepsilon>0 существует δ>0\delta>0 такое, что∣x−y∣<δ⇒∣f(x)−f(y)∣<ε|x-y|<\delta
\quad\Rightarrow\quad
|f(x)-f(y)|<\varepsilonдля любых x,y∈(a,b)x,y\in(a,b).

Последовательность xnx_n сходится, поэтому является фундаментальной. Существует NN такое, что при n,m≥Nn,m\ge N имеем ∣xn−xm∣<δ|x_n-x_m|<\delta, а значит,∣f(xn)−f(xm)∣<ε.|f(x_n)-f(x_m)|<\varepsilon.Последовательность f(xn)f(x_n) фундаментальна и поэтому сходится к некоторому конечному числу AA.
Покажем, что этот предел не зависит от выбора последовательности. Пусть yn→a+0y_n\to a+0. Тогда ∣xn−yn∣→0|x_n-y_n|\to0, поэтому из равномерной непрерывности∣f(xn)−f(yn)∣→0.|f(x_n)-f(y_n)|\to0.Если f(xn)→Af(x_n)\to A, то и f(yn)→Af(y_n)\to A. По критерию Гейнеlim⁡x→a+0f(x)=A.\boxed{\lim_{x\to a+0}f(x)=A}.Для левого предела в точке bb повторим последовательностный довод.
Если un→b−0u_n\to b-0, то последовательность (un)(u_n) фундаментальна, а из
равномерной непрерывности следует, что (f(un))(f(u_n)) тоже фундаментальна и
сходится к некоторому конечному числу BB. Если vn→b−0v_n\to b-0 --- другая
последовательность, то ∣un−vn∣→0|u_n-v_n|\to0, поэтому∣f(un)−f(vn)∣→0.|f(u_n)-f(v_n)|\to0.Значит, предел BB не зависит от выбора последовательности. По критерию
Гейнеlim⁡x→b−0f(x)=B.\boxed{\lim_{x\to b-0}f(x)=B}.
Для бесконечного интервала утверждение неверно. Например, функция f(x)=xf(x)=x равномерно непрерывна на (0,+∞)(0,+\infty), однако конечного предела при x→+∞x\to+\infty не имеет.

Необходимость. Пусть функцию удалось непрерывно продолжить на [a,b][a,b]. Полученная функция непрерывна на сегменте, поэтому по теореме Кантора равномерно непрерывна на [a,b][a,b]. Ее ограничение на (a,b)(a,b) также равномерно непрерывно.

Достаточность. Пусть ff равномерно непрерывна на (a,b)(a,b). По первой части существуют конечные пределыA=lim⁡x→a+0f(x),B=lim⁡x→b−0f(x).A=\lim_{x\to a+0}f(x),
\qquad
B=\lim_{x\to b-0}f(x).ОпределимF(x)={A,x=a,f(x),a<x<b,B,x=b.F(x)=
\begin{cases}
A,&x=a,\\
f(x),&a<x<b,\\
B,&x=b.
\end{cases}Внутри (a,b)(a,b) функция FF непрерывна по условию, а равенства пределов на концах дают непрерывность в точках aa и bb.

Проверка

Таким образом,f допускает непрерывное продолжение на [a,b]  ⟺  f равномерно непрерывна на (a,b).\boxed{
f\text{ допускает непрерывное продолжение на }[a,b]
\iff
f\text{ равномерно непрерывна на }(a,b).
}

Что и требовалось доказать

Демидович № 806 — решение | Высшая математика — Профиматика