Раздел I. Введение в анализ — § 9. Равномерная непрерывность функции

Демидович — задача 791

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 791

Доказать, что если функция f(x)f(x) определена и непрерывна в области a≤x<+∞a\le x<+\infty и существует конечныйlim⁡x→+∞f(x),\lim_{x\to+\infty}f(x),то f(x)f(x) равномерно непрерывна в этой области.

Доказательство

Идея

Пустьlim⁡x→+∞f(x)=L.\lim_{x\to+\infty}f(x)=L.Зафиксируем ε>0\varepsilon>0. Существует A>aA>a такое, что при x≥Ax\ge A∣f(x)−L∣<ε2.|f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2}.Поэтому для любых x1,x2≥Ax_1,x_2\ge A∣f(x1)−f(x2)∣≤∣f(x1)−L∣+∣f(x2)−L∣<ε.|f(x_1)-f(x_2)|
\le
|f(x_1)-L|+|f(x_2)-L|
<
\varepsilon.
На сегменте [a,A+1][a,A+1] функция непрерывна, поэтому по теореме Кантора равномерно непрерывна. Существует δ0>0\delta_0>0 такое, что для любых x1,x2∈[a,A+1]x_1,x_2\in[a,A+1]∣x1−x2∣<δ0⇒∣f(x1)−f(x2)∣<ε.|x_1-x_2|<\delta_0
\quad\Rightarrow\quad
|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon.Возьмем δ=min⁡{1,δ0}\delta=\min\{1,\delta_0\}.

Пусть теперь x1,x2≥ax_1,x_2\ge a и ∣x1−x2∣<δ|x_1-x_2|<\delta. Если обе точки не меньше AA, нужная оценка уже получена. Если хотя бы одна из них меньше AA, то из ∣x1−x2∣<1|x_1-x_2|<1 следует, что обе принадлежат [a,A+1][a,A+1], и снова ∣f(x1)−f(x2)∣<ε|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon.

Проверка

Таким образом, найденное δ\delta зависит только от ε\varepsilon, поэтомуf равномерно непрерывна на [a,+∞).\boxed{f\text{ равномерно непрерывна на }[a,+\infty)}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 791 — решение