Раздел I. Введение в анализ — § 9. Равномерная непрерывность функции

Демидович — задача 801

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 801

1. Показать, что функцияf(x)=∣sin⁡x∣xf(x)=\frac{|\sin x|}{x}равномерно непрерывна на каждом интервалеJ1=(−1<x<0)иJ2=(0<x<1)J_1=(-1<x<0)\qquad\text{и}\qquad J_2=(0<x<1)по отдельности, но не является равномерно непрерывной на их суммеJ1+J2={0<∣x∣<1}.J_1+J_2=\{0<|x|<1\}.2. Доказать, что если функция f(x)f(x) равномерно непрерывна на каждом из сегментов [a,c][a,c] и [c,b][c,b], то эта функция является равномерно непрерывной и на суммарном сегменте [a,b][a,b].

Доказательство

На интервале 0<x<10<x<1 имеем ∣sin⁡x∣=sin⁡x|\sin x|=\sin x, поэтомуf(x)=sin⁡xx.f(x)=\frac{\sin x}{x}.При x→0+x\to0+ эта функция стремится к 11. Если положить f(0)=1f(0)=1, она непрерывно продолжается на сегмент [0,1][0,1], а значит, по теореме Кантора равномерно непрерывна на J2=(0,1)J_2=(0,1).

На интервале −1<x<0-1<x<0 имеем ∣sin⁡x∣=−sin⁡x|\sin x|=-\sin x, поэтомуf(x)=−sin⁡xx.f(x)=-\frac{\sin x}{x}.При x→0−x\to0- получаем f(x)→−1f(x)\to-1. После задания значения f(0)=−1f(0)=-1 эта ветвь непрерывно продолжается на [−1,0][-1,0], поэтому равномерно непрерывна на J1=(−1,0)J_1=(-1,0).
Теперь рассмотрим объединение J1+J2J_1+J_2. Возьмемxn=−1n,yn=1n.x_n=-\frac1n,\qquad y_n=\frac1n.Тогда ∣xn−yn∣=2/n→0|x_n-y_n|=2/n\to0, ноf(xn)=−sin⁡(1/n)1/n→−1,f(yn)=sin⁡(1/n)1/n→1.f(x_n)
=
-\frac{\sin(1/n)}{1/n}
\to-1,
\qquad
f(y_n)
=
\frac{\sin(1/n)}{1/n}
\to1.Поэтому ∣f(xn)−f(yn)∣→2|f(x_n)-f(y_n)|\to2. Значит,f не является равномерно непрерывной на {0<∣x∣<1}.\boxed{f\text{ не является равномерно непрерывной на }\{0<|x|<1\}}.Зафиксируем ε>0\varepsilon>0. Из равномерной непрерывности на [a,c][a,c] существует δ1>0\delta_1>0 такое, что∣x1−x2∣<δ1⇒∣f(x1)−f(x2)∣<ε2|x_1-x_2|<\delta_1
\quad\Rightarrow\quad
|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2}для любых x1,x2∈[a,c]x_1,x_2\in[a,c]. Аналогично на [c,b][c,b] существует δ2>0\delta_2>0.

Возьмем δ=min⁡{δ1,δ2}\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}. Если две точки лежат по одну сторону от cc, нужная оценка следует непосредственно из соответствующей равномерной непрерывности.

Проверка

Пусть x1≤c≤x2x_1\le c\le x_2 и ∣x1−x2∣<δ|x_1-x_2|<\delta. Тогда ∣x1−c∣<δ|x_1-c|<\delta и ∣x2−c∣<δ|x_2-c|<\delta, поэтому∣f(x1)−f(x2)∣≤∣f(x1)−f(c)∣+∣f(c)−f(x2)∣<ε2+ε2=ε.\begin{aligned}
|f(x_1)-f(x_2)|
&\le
|f(x_1)-f(c)|+|f(c)-f(x_2)|\\
&<
\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}
=
\varepsilon.
\end{aligned}Следовательно,f равномерно непрерывна на [a,b].\boxed{f\text{ равномерно непрерывна на }[a,b]}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 801 — решение | Высшая математика — Профиматика