Демидович — задача 801

1. 1
   На интервале $0<x<1$ имеем $|\sin x|=\sin x$, поэтому$$f(x)=\frac{\sin x}{x}.$$При $x\to0+$ эта функция стремится к $1$. Если положить $f(0)=1$, она непрерывно продолжается на сегмент $[0,1]$, а значит, по теореме Кантора равномерно непрерывна на $J_2=(0,1)$.
   
   На интервале $-1<x<0$ имеем $|\sin x|=-\sin x$, поэтому$$f(x)=-\frac{\sin x}{x}.$$При $x\to0-$ получаем $f(x)\to-1$. После задания значения $f(0)=-1$ эта ветвь непрерывно продолжается на $[-1,0]$, поэтому равномерно непрерывна на $J_1=(-1,0)$.
2. 2
   Теперь рассмотрим объединение $J_1+J_2$. Возьмем$$x_n=-\frac1n,\qquad y_n=\frac1n.$$Тогда $|x_n-y_n|=2/n\to0$, но$$f(x_n)$$
   =
   -\frac{\sin(1/n)}{1/n}
   \to-1,
   \qquad
   f(y_n)
   =
   \frac{\sin(1/n)}{1/n}
   \to1.Поэтому $|f(x_n)-f(y_n)|\to2$. Значит,$$\boxed{f\text{ не является равномерно непрерывной на }\{0<|x|<1\}}.$$Зафиксируем $\varepsilon>0$. Из равномерной непрерывности на $[a,c]$ существует $\delta_1>0$ такое, что$$|x_1-x_2|<\delta_1$$
   \quad\Rightarrow\quad
   |f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2}для любых $x_1,x_2\in[a,c]$. Аналогично на $[c,b]$ существует $\delta_2>0$.
   
   Возьмем $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$. Если две точки лежат по одну сторону от $c$, нужная оценка следует непосредственно из соответствующей равномерной непрерывности.

Что и требовалось доказать