Раздел I. Введение в анализ — § 9. Равномерная непрерывность функции

Демидович — задача 788

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Показать, что функция

f(x)=\frac1x

непрерывна в интервале

(0,1)

, но не является равномерно непрерывной в этом интервале.

Доказательство

Функция

f(x)=1/x

непрерывна при каждом

x\in(0,1)

x_n=\frac1n,\qquad y_n=\frac1{n+1}.

При

n\ge2

обе точки принадлежат

(0,1)

, причем

|x_n-y_n|=\frac1{n(n+1)}\to0.

Однако

|f(x_n)-f(y_n)|=|n-(n+1)|=|-1|=1.

Таким образом, расстояние между аргументами стремится к нулю, а расстояние между значениями функции остается равным

1

. В определении отрицания равномерной непрерывности можно взять, например,

\varepsilon_0=\frac12

Проверка

Следовательно,

f(x)=\frac1x\text{ непрерывна, но не равномерно непрерывна на }(0,1).

Что и требовалось доказать