Раздел I. Введение в анализ — § 9. Равномерная непрерывность функции

Демидович — задача 788

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 788

Показать, что функцияf(x)=1xf(x)=\frac1xнепрерывна в интервале (0,1)(0,1), но не является равномерно непрерывной в этом интервале.

Доказательство

Идея

Функция f(x)=1/xf(x)=1/x непрерывна при каждом x∈(0,1)x\in(0,1).
Покажем, что равномерной непрерывности нет. Возьмемxn=1n,yn=1n+1.x_n=\frac1n,\qquad y_n=\frac1{n+1}.При n≥2n\ge2 обе точки принадлежат (0,1)(0,1), причем∣xn−yn∣=1n(n+1)→0.|x_n-y_n|
=
\frac1{n(n+1)}
\to0.Однако∣f(xn)−f(yn)∣=∣n−(n+1)∣=|f(x_n)-f(y_n)|
=
|n-(n+1)|
=Таким образом, расстояние между аргументами стремится к нулю, а расстояние между значениями функции остается равным 11. В определении отрицания равномерной непрерывности можно взять, например, ε0=12\varepsilon_0=\frac12.

Проверка

Следовательно,f(x)=1x непрерывна, но не равномерно непрерывна на (0,1).\boxed{f(x)=\frac1x\text{ непрерывна, но не равномерно непрерывна на }(0,1)}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 788 — решение