Раздел I. Введение в анализ — § 9. Равномерная непрерывность функции

Демидович — задача 792

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 792

Показать, что неограниченная функцияf(x)=x+sin⁡xf(x)=x+\sin xравномерно непрерывна на всей оси −∞<x<+∞-\infty<x<+\infty.

Доказательство

Идея

Для любых x1,x2∈Rx_1,x_2\in\mathbb R∣f(x1)−f(x2)∣=∣x1−x2+sin⁡x1−sin⁡x2∣≤∣x1−x2∣+∣sin⁡x1−sin⁡x2∣≤2∣x1−x2∣.\begin{aligned}
|f(x_1)-f(x_2)|
&=
|x_1-x_2+\sin x_1-\sin x_2|\\
&\le
|x_1-x_2|+|\sin x_1-\sin x_2|\\
&\le
2|x_1-x_2|.
\end{aligned}Поэтому для заданного ε>0\varepsilon>0 достаточно взятьδ=ε2.\boxed{\delta=\frac{\varepsilon}{2}}.Из ∣x1−x2∣<δ|x_1-x_2|<\delta следует ∣f(x1)−f(x2)∣<ε|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon, независимо от положения точек на числовой прямой.

Проверка

Следовательно,x+sin⁡x равномерно непрерывна на R.\boxed{x+\sin x\text{ равномерно непрерывна на }\mathbb R}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 792 — решение