Раздел I. Введение в анализ — § 9. Равномерная непрерывность функции

Демидович — задача 785

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 785

Цех завода вырабатывает квадратные пластинки, стороны которых xx могут принимать значения в пределах от 1 до 10 см. С каким допуском δ\delta можно обрабатывать стороны этих пластинок, чтобы независимо от их длины (в указанных границах) площадь их yy отличалась от проектной меньше, чем на ε\varepsilon? Выполнить численный расчет, если:а) ε=1 см2;б) ε=0,01 см2;в) ε=0,0001 см2.\text{а) }\varepsilon=1\ \text{см}^2;
\quad
\text{б) }\varepsilon=0{,}01\ \text{см}^2;
\quad
\text{в) }\varepsilon=0{,}0001\ \text{см}^2.

Решение

Пусть x∈[1,10]x\in[1,10] — проектная длина, x+hx+h — фактическая, а ∣h∣<δ|h|<\delta. Погрешность площади равна∣(x+h)2−x2∣=∣2xh+h2∣⩽20∣h∣+∣h∣2<20δ+δ2.|(x+h)^2-x^2|=|2xh+h^2|
\leqslant20|h|+|h|^2<20\delta+\delta^2.Поэтому можно выбрать δ\delta из равенства20δ+δ2=ε,(10+δ)2=100+ε.20\delta+\delta^2=\varepsilon,
\qquad(10+\delta)^2=100+\varepsilon.Положительный корень имеет видδ=100+ε−10=ε100+ε+10.\delta=\sqrt{100+\varepsilon}-10
=\frac{\varepsilon}{\sqrt{100+\varepsilon}+10}.Это значение подходит независимо от проектной длины стороны.
Для численного расчёта возьмём удобные меньшие допуски. При δ⩽0,1\delta\leqslant0{,}1 имеем20δ+δ2⩽(20+0,1)δ=20,1δ.20\delta+\delta^2\leqslant(20+0{,}1)\delta=20{,}1\delta.Следующие значения удовлетворяют этой оценке:ε (см2)δ (см)20,1δ (см2)10,04920,1⋅49/1000=0,9849<10,010,0004920,1⋅49/100000=0,009849<0,010,00010,000004920,1⋅49/10000000=0,00009849<0,0001\begin{array}{c|c|c}
\varepsilon\ (\text{см}^2)&\delta\ (\text{см})&20{,}1\delta\ (\text{см}^2)\\\hline
1&0{,}049&20{,}1\cdot49/1000=0{,}9849<1\\
0{,}01&0{,}00049&20{,}1\cdot49/100000=0{,}009849<0{,}01\\
0{,}0001&0{,}0000049&20{,}1\cdot49/10000000=0{,}00009849<0{,}0001
\end{array}Во всех трёх строках δ<0,1\delta<0{,}1, поэтому проверка применима.
Демидович № 785 — решение | Высшая математика — Профиматика