Раздел I. Введение в анализ — § 9. Равномерная непрерывность функции

Демидович — задача 785

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 785

Цех завода вырабатывает квадратные пластинки, стороны которых xx могут принимать значения в пределах от 1 до 10 см. С каким допуском δ\delta можно обрабатывать стороны этих пластинок, чтобы независимо от их длины (в указанных границах) площадь их yy отличалась от проектной меньше, чем на ε\varepsilon? Выполнить численный расчет, если:а) ε=1 см2;б) ε=0,01 см2;в) ε=0,0001 см2.\text{а) }\varepsilon=1\ \text{см}^2;
\quad
\text{б) }\varepsilon=0{,}01\ \text{см}^2;
\quad
\text{в) }\varepsilon=0{,}0001\ \text{см}^2.

Решение

Идея

Пусть x1,x2∈[1,10]x_1,x_2\in[1,10] - проектная и фактическая длины стороны. Нужно подобрать одно и то же δ\delta, не зависящее от длины стороны, так чтобы из ∣x1−x2∣<δ|x_1-x_2|<\delta следовало ∣x12−x22∣<ε|x_1^2-x_2^2|<\varepsilon.
  1. 1
    Имеем∣x12−x22∣=∣x1−x2∣∣x1+x2∣≤20∣x1−x2∣.|x_1^2-x_2^2|
    =
    |x_1-x_2||x_1+x_2|
    \le20|x_1-x_2|.    Поэтому достаточно взятьδ=ε20.\boxed{\delta=\frac{\varepsilon}{20}}.Тогда при ∣x1−x2∣<δ|x_1-x_2|<\delta получаем ∣x12−x22∣<20δ=ε|x_1^2-x_2^2|<20\delta=\varepsilon.
  2. 2

    Пункт а)

    При ε=1\varepsilon=1δ=0,05 см.\boxed{\delta=0{,}05\ \text{см}}.
  3. 3

    Пункт б)

    При ε=0,01\varepsilon=0{,}01δ=0,0005 см.\boxed{\delta=0{,}0005\ \text{см}}.
  4. 4

    Пункт в)

    При ε=0,0001\varepsilon=0{,}0001δ=0,000005 см.\boxed{\delta=0{,}000005\ \text{см}}.
Демидович № 785 — решение | Высшая математика — Профиматика