Раздел I. Введение в анализ — § 9. Равномерная непрерывность функции

Демидович — задача 797

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Исследовать на равномерную непрерывность в заданной области функцию

Задача 797

f(x)=excos⁡1x(0<x<1).f(x)=e^x\cos\frac1x\qquad(0<x<1).

Решение

Проверка

Функция непрерывна на (0,1)(0,1). Возьмемxn=12πn,yn=1(2n+1)π.x_n=\frac1{2\pi n},
\qquad
y_n=\frac1{(2n+1)\pi}.Тогда xn,yn→0+x_n,y_n\to0+, а значит, ∣xn−yn∣→0|x_n-y_n|\to0. При этомcos⁡1xn=cos⁡(2πn)=1,cos⁡1yn=cos⁡((2n+1)π)=−1.\cos\frac1{x_n}=\cos(2\pi n)=1,
\qquad
\cos\frac1{y_n}=\cos((2n+1)\pi)=-1.Поэтомуf(xn)=exn→1,f(yn)=−eyn→−1,f(x_n)=e^{x_n}\to1,
\qquad
f(y_n)=-e^{y_n}\to-1,откуда∣f(xn)−f(yn)∣→2.|f(x_n)-f(y_n)|\to2.Следовательно,excos⁡1x не является равномерно непрерывной на (0,1).\boxed{e^x\cos\frac1x\text{ не является равномерно непрерывной на }(0,1)}.
Демидович № 797 — решение