Раздел I. Введение в анализ — § 9. Равномерная непрерывность функции

Демидович — задача 795

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Исследовать на равномерную непрерывность в заданной области функцию

Задача 795

f(x)=ln⁡x(0<x<1).f(x)=\ln x\qquad(0<x<1).

Решение

Идея

Функция ln⁡x\ln x непрерывна на (0,1)(0,1). Возьмемxn=1n,yn=12n.x_n=\frac1n,\qquad y_n=\frac1{2n}.Тогда∣xn−yn∣=12n→0,|x_n-y_n|=\frac1{2n}\to0,но∣f(xn)−f(yn)∣=∣ln⁡1n−ln⁡12n∣=ln⁡2.|f(x_n)-f(y_n)|
=
\left|\ln\frac1n-\ln\frac1{2n}\right|
=
\ln2.Разность значений функции не стремится к нулю.

Проверка

Следовательно,ln⁡x не является равномерно непрерывной на (0,1).\boxed{\ln x\text{ не является равномерно непрерывной на }(0,1)}.
Демидович № 795 — решение