Демидович — задача 804

1. 1
   Для суммы зафиксируем $\varepsilon>0$. Существуют $\delta_1,\delta_2>0$ такие, что при $|x-y|<\delta_1$ имеем $|f(x)-f(y)|<\varepsilon/2$, а при $|x-y|<\delta_2$ имеем $|g(x)-g(y)|<\varepsilon/2$. Для $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$$$|(f+g)(x)-(f+g)(y)|$$
   <
   \varepsilon.Значит, $f+g$ равномерно непрерывна.
2. 2
   Для произведения сначала заметим, что равномерно непрерывная функция на конечном интервале ограничена. Действительно, для $\varepsilon=1$ существует $\delta_0>0$, одинаковое для всех точек. Интервал $(a,b)$ можно разбить на конечное число промежутков длины меньше $\delta_0$; выбрав в каждом одну точку, получаем общую конечную оценку для значений функции на всем интервале.
   
   Поэтому существуют $M_f,M_g>0$ такие, что $|f(x)|\le M_f$ и $|g(x)|\le M_g$. Имеем$$\begin{aligned}$$
   |f(x)g(x)-f(y)g(y)|
   &\le
   |f(x)||g(x)-g(y)|
   +
   |g(y)||f(x)-f(y)|\\
   &\le
   M_f|g(x)-g(y)|+M_g|f(x)-f(y)|.
   \end{aligned}Подберем $\delta_1$ так, чтобы при $|x-y|<\delta_1$$$|g(x)-g(y)|<\frac{\varepsilon}{2M_f},$$а $\delta_2$ - так, чтобы$$|f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2M_g}.$$Для $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$ получаем $|f(x)g(x)-f(y)g(y)|<\varepsilon$.
3. 3
   Для любого конечного числа функций утверждение следует последовательным применением доказанного к двум функциям.

Что и требовалось доказать