Раздел I. Введение в анализ — § 9. Равномерная непрерывность функции

Демидович — задача 804

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 804

Доказать, что сумма и произведение ограниченного числа равномерно непрерывных на интервале (a,b)(a,b) функций равномерно непрерывны на этом интервале.

Доказательство

Сначала рассмотрим две равномерно непрерывные функции ff и gg на конечном интервале (a,b)(a,b).
Для суммы зафиксируем ε>0\varepsilon>0. Существуют δ1,δ2>0\delta_1,\delta_2>0 такие, что при ∣x−y∣<δ1|x-y|<\delta_1 имеем ∣f(x)−f(y)∣<ε/2|f(x)-f(y)|<\varepsilon/2, а при ∣x−y∣<δ2|x-y|<\delta_2 имеем ∣g(x)−g(y)∣<ε/2|g(x)-g(y)|<\varepsilon/2. Для δ=min⁡{δ1,δ2}\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}∣(f+g)(x)−(f+g)(y)∣<ε.|(f+g)(x)-(f+g)(y)|
<
\varepsilon.Значит, f+gf+g равномерно непрерывна.
Для произведения сначала заметим, что равномерно непрерывная функция на конечном интервале ограничена. Действительно, для ε=1\varepsilon=1 существует δ0>0\delta_0>0, одинаковое для всех точек. Интервал (a,b)(a,b) можно разбить на конечное число промежутков длины меньше δ0\delta_0; выбрав в каждом одну точку, получаем общую конечную оценку для значений функции на всём интервале. Если выбраны точки c1,…,cNc_1,\ldots,c_N, то для любой точки xx из части с точкой cjc_j имеем ∣f(x)−f(cj)∣<1|f(x)-f(c_j)|<1, откуда ∣f(x)∣<1+max⁡1⩽j⩽N∣f(cj)∣|f(x)|<1+\max_{1\leqslant j\leqslant N}|f(c_j)|.

Поэтому существуют Mf,Mg>0M_f,M_g>0 такие, что ∣f(x)∣≤Mf|f(x)|\le M_f и ∣g(x)∣≤Mg|g(x)|\le M_g. Имеем∣f(x)g(x)−f(y)g(y)∣≤∣f(x)∣∣g(x)−g(y)∣+∣g(y)∣∣f(x)−f(y)∣≤Mf∣g(x)−g(y)∣+Mg∣f(x)−f(y)∣.\begin{aligned}
|f(x)g(x)-f(y)g(y)|
&\le
|f(x)||g(x)-g(y)|
+
|g(y)||f(x)-f(y)|\\
&\le
M_f|g(x)-g(y)|+M_g|f(x)-f(y)|.
\end{aligned}Подберем δ1\delta_1 так, чтобы при ∣x−y∣<δ1|x-y|<\delta_1∣g(x)−g(y)∣<ε2Mf,|g(x)-g(y)|<\frac{\varepsilon}{2M_f},а δ2\delta_2 - так, чтобы∣f(x)−f(y)∣<ε2Mg.|f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2M_g}.Для δ=min⁡{δ1,δ2}\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} получаем ∣f(x)g(x)−f(y)g(y)∣<ε|f(x)g(x)-f(y)g(y)|<\varepsilon.
Для любого конечного числа функций утверждение следует последовательным применением доказанного к двум функциям.

Проверка

Следовательно,на конечном интервале суммы и произведения конечного числа равномерно непрерывных функций равномерно непрерывны.\boxed{\text{на конечном интервале суммы и произведения конечного числа равномерно непрерывных функций равномерно непрерывны}.}

Что и требовалось доказать

Демидович № 804 — решение | Высшая математика — Профиматика